初中数学全等专题倍长中线法.docxVIP

在初中几何的浩瀚星河中，全等三角形无疑是一颗璀璨的明珠，它为我们解决线段相等、角相等以及线段与角的位置关系等问题提供了强大的工具。而在众多构造全等三角形的辅助线技巧中，“倍长中线法”以其独特的思路和广泛的适用性，占据着举足轻重的地位。今天，我们就一同深入探讨这一重要方法，揭开它神秘的面纱，让它成为我们攻克几何难题的锐利武器。

一、何为“倍长中线法”？

顾名思义，“倍长中线法”的核心在于“倍长”二字。当题目中出现三角形的中线时，我们常常将这条中线延长一倍，构造出一对全等三角形，进而利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）来转移线段或角，以达到解决问题的目的。

这里的“中线”，通常指的是三角形一边上的中线，即连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。而“倍长”，就是将这条中线向中点方向的延长线延长，使得延长部分的长度等于中线本身的长度。

二、为何“倍长中线”能奏效？

我们知道，三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，但这仅仅是中线的一个基本性质。当我们将中线延长一倍后，奇迹就发生了。

假设在△ABC中，AD是BC边上的中线，即BD=DC。我们延长AD至点E，使得DE=AD。此时，连接BE（或CE），我们会发现△ADC和△EDB（或△ADB和△EDC）恰好满足全等三角形的判定条件（SAS）：

*AD=ED(我们所作的辅助线)

*∠ADC=∠EDB(对顶角相等)

*DC=DB(中线的定义)

因此，△ADC≌△EDB。这样一来，AC边就转移到了BE边，∠CAD也转移到了∠BED。原本分散的条件，通过这样的构造，集中到了新的三角形△ABE中，问题往往就能迎刃而解。这便是“倍长中线法”的精髓——通过构造全等，实现条件的转移与集中。

三、“倍长中线法”的操作步骤与应用举例

掌握一种方法，不仅要知其然，更要知其所以然，并能熟练应用。下面我们通过具体步骤和例题来深化理解。

（一）基本操作步骤

1.识别中线：在题目给出的三角形中，准确找到或判断出哪条线段是中线。有时题目不会直接给出中线，而是给出某边的中点，此时连接顶点与中点即可得到中线。

2.延长中线：将这条中线延长，使得延长后的线段长度与原中线长度相等。通常表述为“延长AD至E，使DE=AD”。

3.连接端点：连接延长后线段的端点与原三角形的一个顶点（通常是中线所在边的另一个端点），形成新的三角形。

4.证明全等：利用“SAS”（边角边）判定定理证明新构造的两个三角形全等。

5.利用全等性质：根据全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质，将已知条件或待证结论进行转化，进而解决问题。

（二）经典例题解析

例题1：已知，在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB+AC2AD。

分析与证明：

这是一个非常典型的利用倍长中线法证明线段不等关系的题目。要证明AB+AC2AD，直接在原三角形中似乎无从下手。AD是中线，这正是我们应用“倍长中线法”的信号。

1.识别中线：AD是△ABC的BC边上的中线，所以BD=DC。

2.延长中线：延长AD至点E，使DE=AD。

3.连接端点：连接BE。

4.证明全等：在△ADC和△EDB中，

*AD=ED(辅助线作法)

*∠ADC=∠EDB(对顶角相等)

*DC=DB(中线定义)

所以，△ADC≌△EDB(SAS)。

5.利用全等性质：由全等可得，AC=EB(对应边相等)。

此时，在△ABE中，根据三角形三边关系定理，有AB+BEAE。

因为BE=AC，AE=AD+DE=2AD，

所以AB+AC2AD。原题得证。

例题2：已知，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=CE，连接DE交BC于点F。求证：DF=EF。

分析与证明：

本题要证DF=EF，即证F是DE的中点。直接证明△DFB和△EFC全等条件不足。已知BD=CE，AB=AC，考虑是否可以通过构造全等将BD和CE联系起来。虽然题目中没有明显的中线，但我们可以尝试过D点或E点作某条线段的平行线，或者构造中线。这里，我们尝试用倍长中线的思想（广义上，也可以理解为构造中心对称的全等三角形）。

过点D作DG∥AE，交BC于点G。

则∠DGB=∠ACB，∠GDF=∠E。

因为AB=AC，所以∠B=∠ACB，因此∠B=∠DGB，故DB=DG。

又因为BD=CE，所以DG=CE。

在△DGF和△ECF中，

*∠GDF=∠E(已证)

*∠DFG=∠EFC(对顶角相等)

*DG=CE(已证)

所以，△DGF≌△ECF(A