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2025年陕西省（专升本）数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)f(b)0，则根据零点定理，下列说法正确的是（）

A.函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点

B.函数f(x)在区间(a,b)内至多有一个零点

C.函数f(x)在区间(a,b)内没有零点

D.函数f(x)在区间(a,b)内可能有零点，也可能没有零点

【答案】A

【解析】根据零点定理，当函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)0时，函数f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点。

2.设函数y=x^36x^2+9x1，求函数的极值点及极值。

A.极大值点x=0，极大值f(0)=1；极小值点x=2，极小值f(2)=2

B.极大值点x=0，极大值f(0)=1；极小值点x=3，极小值f(3)=5

C.极大值点x=2，极大值f(2)=2；极小值点x=3，极小值f(3)=5

D.极大值点x=2，极大值f(2)=2；极小值点x=0，极小值f(0)=1

【答案】C

【解析】求导数f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，解得x=1和x=3。当x1时，f(x)0；当1x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0。因此，x=1为极大值点，x=3为极小值点。极大值f(1)=5，极小值f(3)=1。

3.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[5,6],[7,8]]，求AB。

A.[[17,18],[23,24]]

B.[[13,14],[19,20]]

C.[[12,13],[18,19]]

D.[[15,16],[21,22]]

【答案】A

【解析】矩阵乘法规则，AB=[[15+27,16+28],[35+47,36+48]]=[[17,18],[23,24]]。

4.若lim(x→0)(sinx)/x=1，则下列说法正确的是（）

A.sinx在x=0处的导数为1

B.sinx在x=0处的导数不存在

C.sinx在x=0处的极限不存在

D.sinx在x=0处的极限为0

【答案】A

【解析】根据洛必达法则，lim(x→0)(sinx)/x=lim(x→0)(cosx)/1=1，因此sinx在x=0处的导数为1。

5.已知函数y=lnx，求y的导数。

A.y=1/x

B.y=1/(x^2)

C.y=2/x

D.y=2/(x^2)

【答案】A

【解析】根据导数定义，y=(dy/dx)=(lnx)=1/x。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=e^x+sinx的导数为________。

【答案】e^x+cosx

2.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=0，f(b)=1，则根据介值定理，存在至少一个c属于(a,b)，使得f(c)=________。

【答案】0.5

3.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式值为________。

【答案】2

4.若lim(x→∞)f(x)=0，则称函数f(x)为________。

【答案】无穷小

5.若函数y=x^2+3x+2在x=________处取得极值。

【答案】1.5

三、解答题（每题25分，共50分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求函数的极大值点、极小值点及极值。

【解答】

求导数f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，解得x=1和x=3。当x1时，f(x)0；当1x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0。因此，x=1为极大值点，x=3为极小值点。极大值f(1)=5，极小值f(3)=1。

2.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[5,6],[7,8]]，求矩阵AB及BA，并判断AB和BA是否可逆。

【解答】

AB=[[15+27,16+28],[35+47,36+48]]=[[17,18],[23,24]]。

BA=[[15+23,16+24],[35+43,36+44]]=[[11,14],[21,28]]。

AB的行列式值为2，BA的行列式值为4。由于AB和BA的行列式值都不为0，因此AB和BA均可逆。