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常微分方程数值法第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*9.1引言9.3龙格-库塔方法9.2欧拉方法本章要点：本章主要研究基于微积分数值解法的常微分方程数值解，主要方法有线性单步法中的Euler方法、Runge-Kutta方法第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*9.1引言在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*-----------(3)(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题-----------(4)另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*定理1.对于问题(1),要求它的数值解第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*-----------(1)从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的关键在于而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*9.2Euler方法考虑一阶常微分方程初值的问题：设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题进行离散化。一般是引入点列{}，这里为步长，经常考虑定长的情形，即。记为初始问题（1）的问题准确解在处的值，用均差近似代替（1）的导数得(1)第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*令为的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得（2）（3）从处的初值开始，按（2）可逐步计算以后各点上的值。称（2）式为显式Euler。由于（3）式的右端隐含有待求函数值，不能逐步显式计算，称（3）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果将（2）和（3）两式作算术平均，就得梯形公式。第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由去计算，故称它们为单步法。例1取h=0.1，用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法解解本题有如果用Euler方法，由（2）并代入h=0.1得同理，用隐式Euler方法有（4）第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日华长生制作*同样可得梯形公式的显式为三种方法及准确解的数值结果如表1所示。从表中看到，在处，Euler方法和隐式Euler方法的误差分别是和，而梯形方法的误差却是。