第三章线性代数方程组.pptVIP

第29页，共46页，星期日，2025年，2月5日第30页，共46页，星期日，2025年，2月5日非齐次方程组的通解对于非齐次方程组AX=b设是其导出组的一个基础解系，是非齐次方程的一个特解，那么方程组的通解：第31页，共46页，星期日，2025年，2月5日课堂讨论题：(1)问：a,b取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。第32页，共46页，星期日，2025年，2月5日解：当a=0,b=2时，方程有解。因为第33页，共46页，星期日，2025年，2月5日第1页，共46页，星期日，2025年，2月5日例1：求下列矩阵的秩第2页，共46页，星期日，2025年，2月5日分析例中3个矩阵的求秩过程，可以得到如下结论：（1）A=0的充要条件是rank(A)=0；（2）若A有一个k阶子式不为零，那么r(A)≥k；当r(A)=k时，则A至少有一个不为零的k阶子式，但不是所有k阶子式都不为零，而且可以断言所有高于k阶的子式(如果存在)都为零；(3)若A是mхn矩阵，那么r(A)≤min{m,n}；r(A)=r(AT)；(4)若A是n阶矩阵，则r(A)≤n。r(A)=ndetA≠0是A可逆。称行列式不为零的矩阵为满秩阵(非退化阵)；行列式为零的矩阵为降秩阵(退化阵)。第3页，共46页，星期日，2025年，2月5日练习1对于矩阵k取何值时，可使：（1）r(A)=1(2)r(A)=2(3)r(A)=3。练习2证明r(A)=r(AT)。第4页，共46页，星期日，2025年，2月5日3．1．2计算定义2满足以下两个条件的mхn矩阵称为梯矩阵：1．第k+1行的首个非零元（如果有的话）前的零元个数多于第k行的非零元（如果存在）前的零元个数，k=1,2,…,m-1；2．如果某行都是零元，则其下所有行的元都是零。第5页，共46页，星期日，2025年，2月5日例2说明为梯矩阵，并求出rank(A)。第6页，共46页，星期日，2025年，2月5日结论如果A是梯矩阵，那么r(A)=A的非零行的行数。对于一般的mхn矩阵，从秩的定义求A的秩是不方便的。希望将A经过初等变换，变换成梯矩阵，然后再求A的秩。问题：经过初等变换的矩阵，其秩会变化？第7页，共46页，星期日，2025年，2月5日定理1任一mхn矩阵A经有限次初等变换后，其秩不变。证明设A经一次行初等变换后成为B，首先证明r(A)≤r(B)，（B=RA；）推得：r(B)≤r(A)，（因为A=R-1B）得到r(A)=r(B)。因此，只要分别对三类初等变换证明r(A)≤r(B)。设r(A)=k。第8页，共46页，星期日，2025年，2月5日对第一类行初等变换，第9页，共46页，星期日，2025年，2月5日因为r(A)=k，即A中必有一个k阶子式Mk≠0。B中有一个与Mk对应的k阶子式Nk，满足下述之一的条件：（1）当Mk中不包含A的第i行和j行的元素，那么Mk=Nk；（2）当Mk中仅包含A的第i行（或j行）元素；只要适当交换Nk的行，就可以得到Mk，Mk=±Nk。（3）当Mk中包含A的第i行和第j行，只要交换Mk中与A的第i、j行对应的行，就可以得到Nk，所以Mk=-Nk。综上所述，当A中k阶子式Mk≠0，那么B中存在k阶子式Nk≠0，所以，r(A)≤r(B)；第10页，共46页，星期日，2025年，2月5日对第二类行初等变换，：第11页，共46页，星期日，2025年，2月5日设Mk≠0是A的一个k阶子式，Nk是B中与Mk对应的行组成的k阶子式。若Mk中含第i行，则Nk=αMk≠0；若Mk中不含第i行，则Nk=Mk≠0，所以，r(A)≤r(B)；第12页，共46页，星期日，2025年，2月5日对于第3类初等变换，第13页，共46页，星期日，2025年，2月5日对于A中的k阶子