专题06 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法（解析版）-2025数学常考压轴题上册九年级华师版.docxVIP

专题06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 2

类型一、“母子”模型(共边角模型) 2

类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8

类型三、“K”字模型（相似模型） 13

压轴能力测评（10题） 17

解题知识必备

模型1.“母子”模型(共边角模型)

【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．

图1图2图3

（1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.

（2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；

结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.

（3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；

模型2.“手拉手”模型(旋转模型)

【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

手拉手相似模型

条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.

模型3.“K”字模型（相似模型）

【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．

(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.

(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.

特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

压轴题型讲练

类型一、“母子”模型(共边角模型)

例题：（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．

????

(1)求证:；

(2)若E是的重心，求的值．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质，

（1）证明，可得，可证，可得，即可得证；

（2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴，

∵E是的重心，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【变式训练1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，是上一点，，为上一点．

(1)求证：；

(2)若，，，，求、的长．

【答案】(1)见详解

(2)

【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论；

（2）由相似三角形的判定定理可得，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．

【详解】（1）证明：，，

∴；

（2）解：∵，

，

，

．

，

，

，

．

【变式训练2】（3-24九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）如图①，在中，，于点D．求证：；

（2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值；

（3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）．

【答案】（1）见解析；

（2），；

（3）满足条件的的所有可能的值为或或

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．

（1）根据题意可证，从而可得即；

（2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出；

（3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可．

【详解】解：（1）证明：如图①，

，，

，

又，

，

，

．

（2）解：方法一：

如图②，过点C作交的延长线于点G，

，

，．

，

，，

又，

，

．

同理（1）可得：，，

，

，

．

，

．

方法二：

如图③，过点D作，交于点G，

，

，．

，

，．

同理（1）可得：，，

，

，

，

．