自动控制理论课件：第九章-线性定常系统的状态空间分析与综合3.ppt

第九章线性定常系统的状态空间分析与综合;1.基本概念

2.状态空间表达式的建立

3.状态空间的线性变换

4.传递函数矩阵;1.线性定常连续系统齐次状态方程的解

2.状态转移矩阵的基本性质

3.状态转移矩阵的求法

4.线性定常系统非齐次方程的解;线性定常齐次状态方程是指输入向量为零时的状态方程

设初始时刻，系统初始状态，状态方程是

一阶微分方程组，它的求解方法与标量一阶微分方程相

类似。其解为

其中可以展开成;X(t)由X(0)经转移而来，称为状态转移矩阵，并记为，即

若初始时刻，初始状态为，则齐次状态方程的解为

;据此得到状态转移矩阵的性质：

(1)，或

(2)，或

(3)，或;(4)，或

该性质说明，转移矩阵的逆意味着时间的逆转，则：

(5)对于方阵A和B，当且仅当时，有

；否则时，则，注意：这与标量指数函数的性质是不同的。;1)幂级数法

2)拉普拉斯变换法

3)应用凯莱-哈密顿定理计算

4)通过线性变换把A化成约旦标准型来计算;简便、编程计算容易，适合于计算机计算。不易得到闭式解。;

将两端取拉氏变换，有

若存在，则

取拉氏反变换，有

由于微分方程的解是惟一的，所以;

（1）凯莱—哈密顿定理：方阵满足自身的特征方程

即

则

在的幂级数表示法中，消去及以上的幂次项后得;（2）的计算方法

①的特征值互异时，因为特征值与是可以互换的

所以也满足式，即

或

于是;②的特征值均相同：设的特征值为，则

上式对求导，有

重复以上步骤，最后有;由上面的个方程对求解后得

③当的特征根既有互异特征值，又有重特征值时，

可根据和求得。;

①若阵有个不相等的实根，则

;4)通过线性变换化成约旦标准型来计算;那么

②若可化为约旦型矩阵

即

;可求得

那么;③若可化为模态型矩阵，则

式中;所以

于是系统状态转移矩阵

;非齐次状态方程是指输入向量不等于零时的状态方程

求解方法：

1)积分法

2)拉氏变换法;设初始时刻为0，初始状态为。改写状态方程

上式两边左乘后得

对上式在0到t时间内积分：;整理后可得

若，初始状态为，则有;对状态方程进行拉氏变换，有

由于一定存在，所以

直接对上式两边进行拉氏反变换，得;2)拉氏变换法;1)离散系统的状态空间模型

2)线性离散动态方程的解

;①由差分方程(或脉冲传递函数)建立状态空间模型

②定常系统连续动态方程的离散化;①由差分方程(或脉冲传递函数)建立状态空间模型;与连续系统相同，将作串联分解，引入中间变量

则

状态变量选为:

那么;利用反变换关系:

状态空间表达式为:

;或表示成

简记为

;可见，离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与kT时刻的状态及输入量之间的关系；其输出方程描述了kT时刻的输出量与kT时刻的状态及输入量之间的关系。;

已知连续系统在及作用下的解为

离散按等采样周期的过程处理，考察从到

这一段的响应，并考虑到在这一段时间间隔内，

常数。令则；令，则

。

;于是其解化为

记

令，则有

故离散化状态方程为

其中

;

可用的方法有递推法，Z变换法，对角线法和凯莱哈

密顿定理法。

递推法

令式中，可得到时刻的状态

;2)线