高等数学函数的连续性与间断点.pptVIP

例5.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类跳跃间断点.在点x=1不连续,第29页，共41页，星期日，2025年，2月5日第1页，共41页，星期日，2025年，2月5日二、函数的间断点一、函数的连续性第六节函数的连续性与间断点第2页，共41页，星期日，2025年，2月5日可见,函数在点一、函数的连续性(continuity)1.定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;第3页，共41页，星期日，2025年，2月5日对自变量的增量有函数的增量函数在点连续有:2.函数连续的等价定义等价定义:在的某邻域内有定义,设函数则称函数第4页，共41页，星期日，2025年，2月5日当时,有当时,有第5页，共41页，星期日，2025年，2月5日4.左、右连续在的某邻域内有定义,设函数则称函数定理1第6页，共41页，星期日，2025年，2月5日continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.例如,在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有第7页，共41页，星期日，2025年，2月5日例.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.第8页，共41页，星期日，2025年，2月5日在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;第9页，共41页，星期日，2025年，2月5日间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.第10页，共41页，星期日，2025年，2月5日为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:第11页，共41页，星期日，2025年，2月5日显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.第12页，共41页，星期日，2025年，2月5日(6)为其跳跃间断点.第13页，共41页，星期日，2025年，2月5日Conclusions:左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式第14页，共41页，星期日，2025年，2月5日思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,第15页，共41页，星期日，2025年，2月5日☆☆第16页，共41页，星期日，2025年，2月5日☆第17页，共41页，星期日，2025年，2月5日备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.第18页，共41页，星期日，2025年，2月5日在其定义域内连续三、连续函数的运算法则定理2.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,思考:(1)同一区间内,一个连续函数与一个不连续函数的和是否连续?(2)同一区间内,两个不连续函数的和是否一定不连续?第19页，共41页，星期日，2025年，2月5日定理3.连续单调递增函数的反函数例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调在上连续单调,其反函数在上也连续单调.又如,特别,在上也连续单调.第20页，共41页，星期日，2025年，2月5日在上连续.在上连续.在上连续.第21页，共41页，星期日，2025年，2月5日定理4.连续函数的复合函数是连续的.证:设函数于是故复合函数即即第22页，共41页，星期日，