第三章数与数系的发展.pptVIP

西方数学家更多地是研究负数存在的合理性如，16、17世纪的帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数，他说如果(－1)：1=1：(－1)，那么较小数与较大数的比怎么等于较大数与较小数的比呢？英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大（1655）。他对此解释道：因为时，。而负数故。英国著名代数学家德·摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍？”他列方程56+x=2（29+x），开解得x=－2。他称此解是荒唐的。当然，欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正确立。第30页，共55页，星期日，2025年，2月5日3.3.2无理数公元前5世纪，图3.5黄金比的几何作图法(一)毕德哥拉斯学派发现了一些直角三角形的三边不能用整数或整数之比来表示的事实第31页，共55页，星期日，2025年，2月5日图3.6黄金比的几何作图法(二)在古希腊几何学家试图作正五边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了作正五边形，只要能作出360的角即可，因为这个角的二倍（即720的角）是圆内接正五边形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角为360的等腰三角形。为此，如图3.5中，设AC平分底角OAB。这时，OC=AC=AB，且△BAC与△AOB相似。取OA=1，设AB=x，于是有AB/BC=OA/AB，x/（1－x）=1/x，即x2+x－1=0。由此得到x=（－1）/2。运用古希腊尺规作图的方法，不难作出这样的x：第32页，共55页，星期日，2025年，2月5日如图3.6所示，其中OA=1，MO=1/2，因而AM=/2，以及AB=AN=AM－MN=（－1）/2=x。这里的无理数x被称为“黄金比”（有的资料上把它的倒数（+1）/2≈1.618称为“黄金比”），它在自然界中，以及在科学和艺术中，处处都会出现。它是早期被发现的无理数之一。第33页，共55页，星期日，2025年，2月5日第一次数学危机与古希腊数学家欧道克索斯的“量”理论无理数最早出现在中国《九章算术》中时，丝毫没有引起人们的异议。《九章算术》的开方术中说：“若开不尽者，为不可开，当以面命之。”第34页，共55页，星期日，2025年，2月5日有理数和无理数的小数表达式任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表示一个无理数。重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都存在一个有理数。事实上，如果a和b（o＜a＜b）表示两个无理数，且它们的小数表达式为a=a0.a1a2…和b=b0。b1b2…，设i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一个n值。于是，c=b0。b1b2…bi就是a和b之间的一个有理数。第35页，共55页，星期日，2025年，2月5日3.3.3复数虚数是负数开平方的产物，它是在代数方程求解过程中逐步为人们所发现的公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的。十二世纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数”卡当（1545）解方程得到根和。这使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。17世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个我们称之为虚的－1的平方根，是圣灵在分析奇观中的超凡显示，是介于存在与不存在之间的两栖物，是理想世界的瑞兆。”第36页，共55页，星期日，2025年，2月5日用几何的直观来认识复数英国数学家瓦里士（1685）用几何直观表示实数系二次方程复根的方法：画一条数轴，将根的实部在数轴上表示为一点，在此点处做一线段垂直于数轴，其长度等于的系数，即表示根的虚部。丹麦数学家韦塞尔（1788年）做了改进：在已有数轴上，做与之垂直的虚轴，并以为单位，这样就建立了复平面，对于每个复数a+bi，都对应着一个由坐标原点出发的向量。韦塞尔用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算，这些定义在现今的教材中也仍保留着。高斯在（1811年）提出a+bi可用点（a,b）表示，并于1831年阐述了复数的几何加法与乘法。同时他指出，在这个几何表示中人们可以看