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在的邻域上把展开。例2（1）在复平面上解析的，则在的邻域上解析，解：第29页，共64页，星期日，2025年，2月5日★（2）同理：第30页，共64页，星期日，2025年，2月5日2、间接展开法例3求在z=0处的泰勒级数。解：★函数可以表为:第31页，共64页，星期日，2025年，2月5日求函数在z=0的泰勒展开。例4f(z)=ln(1+z)解第32页，共64页，星期日，2025年，2月5日★一些常用初等复变函数的泰勒展开式第33页，共64页，星期日，2025年，2月5日例5，在zo=0的邻域上将
展开（m不是整数）。解：先计算展开系数：第34页，共64页，星期日，2025年，2月5日★根据★得：第35页，共64页，星期日，2025年，2月5日§3.4解析延拓一、问题的提出与解析延拓概念1、问题的提出★上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在点不解析，但上式右端泰勒级数只在区域解析，这样，我们可以说有两个函数：（除以外）★其一，★其二，第36页，共64页，星期日，2025年，2月5日★两函数有怎样的关系呢？★函数的解析区域大于的解析区域；★在小区域上★能否通过找到呢？2、解析延拓若已知f(z)在某个邻域b上解析，若能找到另一个函数F(z)，使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的，并且在区域b上等同于f(z)，这一过程称为解析延拓。解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大！第37页，共64页，星期日，2025年，2月5日二、解析延拓的方法★利用泰勒级数方法将两类函数“等值互相换”进行解析延拓；★选区域b的内点，在的邻域上把解析函数展开；★如果这收敛区域有一部分超出b，函数f(z)定义域就扩大了一步，再在超出部分的区域选定一点为中心展开，这样反复下去就可以找到函数F(z)所有的解析区域了。第38页，共64页，星期日，2025年，2月5日三、函数解析延拓的唯一性定理：函数f(z)通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数是唯一的。★在b上有★设用两种方法将函数f(z)从较小区域b解析延拓到较大区域B上，得到的函数分别是F1(z)和F2(z).★构成新函数，该函数是解析的，且在b上处处为零,在B上不一定处处为零。证明：第39页，共64页，星期日，2025年，2月5日★显然，G(z)在B上不为零，若使G(z)在b上处处为零，必须有★则，满足b上G(z)处处为零，必然要求在整个区域上处处为零。★既然在B上处处为零则必然处处有：在b的境界线上的点,将G(z
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