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初等数论真题及答案
一、单项选择题（每题2分，共10题）
1.若a和b是正整数，且a|b，则下列说法正确的是：
A.a是b的质因数
B.b是a的倍数
C.a和b互质
D.a和b有公共质因数
答案：B
2.下列哪个数是素数？
A.49
B.51
C.53
D.57
答案：C
3.若a和b是互质的正整数，且ab=30，则a和b的可能值是：
A.2和15
B.3和10
C.5和6
D.6和8
答案：C
4.下列哪个数是合数？
A.1
B.17
C.19
D.23
答案：A
5.若p是素数，且p|a^2，则p一定整除a，这个命题：
A.正确
B.错误
答案：A
6.若a和b是正整数，且gcd(a,b)=1，则下列说法正确的是：
A.a和b都是素数
B.a和b有公共质因数
C.a和b互质
D.a和b是倍数关系
答案：C
7.下列哪个数是费马数？
A.2^2+1
B.2^3+1
C.2^4+1
D.2^5+1
答案：A
8.若a和b是正整数，且a|b，b|c，则：
A.a|c
B.a|bc
C.b|ac
D.a和c互质
答案：A
9.下列哪个数是完全数？
A.6
B.28
C.49
D.56
答案：B
10.若p是素数，且p|a+b，则p一定整除a或b，这个命题：
A.正确
B.错误
答案：A
二、多项选择题（每题2分，共10题）
1.下列哪些数是合数？
A.4
B.9
C.11
D.15
答案：A、B、D
2.下列哪些数是素数？
A.2
B.3
C.5
D.7
答案：A、B、C、D
3.下列哪些数是完全数？
A.6
B.28
C.49
D.56
答案：A、B
4.下列哪些数是费马数？
A.2^2+1
B.2^3+1
C.2^4+1
D.2^5+1
答案：A、B、C、D
5.若a和b是正整数，且gcd(a,b)=1，则下列说法正确的是：
A.a和b都是素数
B.a和b互质
C.a和b有公共质因数
D.a和b是倍数关系
答案：B
6.若a和b是正整数，且a|b，b|c，则：
A.a|c
B.a|bc
C.b|ac
D.a和c互质
答案：A、B
7.下列哪个数是素数？
A.49
B.51
C.53
D.57
答案：C
8.若p是素数，且p|a^2，则p一定整除a，这个命题：
A.正确
B.错误
答案：A
9.下列哪个数是合数？
A.1
B.17
C.19
D.23
答案：A
10.若a和b是正整数，且ab=30，则a和b的可能值是：
A.2和15
B.3和10
C.5和6
D.6和8
答案：C
三、判断题（每题2分，共10题）
1.若a和b是正整数，且a|b，则a是b的质因数。
答案：错误
2.下列哪个数是素数？53
答案：正确
3.若a和b是互质的正整数，且ab=30，则a和b的可能值是5和6。
答案：正确
4.下列哪个数是合数？1
答案：错误
5.若p是素数，且p|a^2，则p一定整除a。
答案：正确
6.下列哪个数是费马数？2^2+1
答案：正确
7.若a和b是正整数，且a|b，b|c，则a|c。
答案：正确
8.下列哪个数是完全数？28
答案：正确
9.若p是素数，且p|a+b，则p一定整除a或b。
答案：正确
10.下列哪个数是素数？17
答案：正确
四、简答题（每题5分，共4题）
1.什么是素数？请举例说明。
答案：素数是指只有1和它本身两个因数的正整数。例如，2、3、5、7等都是素数。
2.什么是合数？请举例说明。
答案：合数是指除了1和它本身还有其他因数的正整数。例如，4、6、8、9等都是合数。
3.什么是完全数？请举例说明。
答案：完全数是指一个数等于它的所有真因数之和。例如，6的真因数有1、2、3，而6=1+2+3，所以6是完全数。
4.什么是费马数？请举例说明。
答案：费马数是指形式为2^2^n+1的数，其中n是非负整数。例如，当n=0时，2^2^0+1=2+1=3；当n=1时，2^2^1+1=4+1=5；当n=2时，2^2^2+1=16+1=17等。
五、讨论题（每题5分，共4题）
1.请讨论素数在数论中的重要性。
答案：素数在数论中具有重要地位，它们是构成其他整数的基本buildingblocks。许多数论问题都与素数有关，如素数分布、素数定理等。素数在密码学、计算机科学等领域也有广泛应用。
2.请讨论合数与素数之间的关系。
答案：合数与素数之间有着密切的关系。任何一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，这是数论中的基本定理。素数是合数的基本因数，合数是由素数构成的。素数与合数的研究对
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