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第二十四章圆第10课切线长定理及三角形的内切圆

知识点1切线长定理切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的

长，叫做这点到圆的切线长．

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B.则

PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？并说明理由．解：PAPB，∠APO∠BPO.理由如下：如图，连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OAAP，OBBP.又OA＝，OP＝?，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP()．∴PAPB，∠APO∠BPO.＝＝⊥⊥OBOPHL＝＝

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的?

相等，这一点和圆心的连线?两条切线的夹角．切

线长平分

1．【例1】(人教九上P99探究改编)如图，点P为⊙O外一点，PA，

PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝?．3

2．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B是切点，若∠APB

＝60°，PO＝4，则⊙O的半径为?．2

知识点2三角形的内切圆与内心3．三角形的内切圆：是指与三角形各边都的圆．如图，⊙O就是△ABC的内

切圆．三角形的内心：是指内切圆的圆心，是三角形三条?的

交点，它到三角形的三边的距离相等．如图，点O就是△ABC的内心．相切角平分线

4．【例2】(人教九上P100【例2】改编)如图，△ABC的内切圆⊙O

与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18cm，BC＝26

cm，CA＝28cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝x，则CE＝CD＝28－x，BF＝BD＝18－x.∵BC＝26，∴(18－x)＋(28－x)＝26.解得x＝10.∴AF＝10cm，BD＝8cm，CE＝18cm.

5．(北师九下P95例题改编)如图，在△ABC中，内切圆I和边BC，

AC，AB分别相切于点D，E，F.若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求

△ABC内切圆的半径．解：如图，连接ID，IE.∵BC2＋AC2＝32＋42＝25，AB2＝25，∴BC2＋AC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°.由题可知∠IDC＝∠C＝∠IEC＝90°，ID＝IE.∴四边形DCEI为正方形．

∴ID＝CD＝CE＝IE.由题可知，BD＝BF，AE＝AF.∴CD＋CE＝BC－BD＋AC－AE＝BC＋AC－(BD＋AE)＝BC

＋AC－(BF＋AF)＝BC＋AC－AB＝2.∴IE＝CD＝CE＝1.∴△ABC内切圆的半径为1.

1．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝60°，PA

＝4，则弦AB的长是?．4

2．(人教九上P100练习T1改编)如图，点O为△ABC的内心，且∠A

＝50°，则∠BOC的度数为?．115°

3．(北师九下P96习题T1改编)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，

B，PA＝17cm，点C是劣弧AB上的点(不与点A，B重合)，过点C的切

线分别交PA，PB于点E，F，则△PEF的周长为(C)A．17cmB．25cmC．34cmD．35cmC

4．如图所示是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用

料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？解：作法：(1)分别作∠ABC，∠ACB的平分线交于点P；(2)过点P作线段BC的垂线交BC于点E；(3)以点P为圆心，线段PE长为半径画圆．如图，⊙P即为所求．

5．(人教九上P102习题T11改编)如图，直线AB，BC，CD分别与

⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8c