计算方法非线性方程求解.pptVIP

定理1（收敛的充分条件）设f?C2[a,b]，若f(a)f(b)0；在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)?0；(3)选取x0?[a,b]使得f(x0)f”(x0)0；则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。第30页，共52页，星期日，2025年，2月5日第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日定理2（局部收敛性）设f?C2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)?0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要f’(x*)?0，则令可得结论。第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日定理3（全局收敛性定理）设f?C2[a,b]，若f(a)f(b)0；在整个[a,b]上f’(x)?0,f”(x)?0；(3)则任取x0?[a,b]，Newton’sMethod产生的序列{xk}都收敛到f(x)=0在[a,b]的根x*。第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日§2二分法原理：若f?C[a,b]，且f(a)·f(b)0，则f在(a,b)上必有一根。abx1x2abx*?2xx*第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日误差分析：第1步产生的有误差第k+1步产生的xk有误差对于给定的精度?,可估计二分法所需的步数k：优点：①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).缺点：①无法求复根及偶重根②收敛慢第3页，共52页，星期日，2025年，2月5日第4页，共52页，星期日，2025年，2月5日第5页，共52页，星期日，2025年，2月5日迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。§2迭代法等价变换为的不动点由此也称为不动点迭代法，迭代法的一般形式：第6页，共52页，星期日，2025年，2月5日,…,,….迭代公式若收敛，即存在x*使得，且连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。从一个初值出发，计算第7页，共52页，星期日，2025年，2月5日xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)第8页，共52页，星期日，2025年，2月5日第9页，共52页，星期日，2025年，2月5日(I)当x?[a,b]时，(x)?[a,b]；(II)?0?L1使得则任取x0?[a,b]，由xk+1=(xk)得到的序列收敛于(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：??(k=1,2,…)k考虑方程x=(x),(x)?C[a,b],若定理1第10页，共52页，星期日，2025年，2月5日注2