6.1 正弦、余弦、正切、余切（第3课时）（课件）高一数学（沪教版2020必修第二册）.pptxVIP

第六章三角

6.1正弦、余弦、正切、余切（第3课时）

诱导公式一

2kπ+a(k∈Z),-a,π±a,2±a这些角都与角a有特殊的关系.已知角α的

正弦、余弦、正切及余切值，能否快速给出上述这些角的正弦、

余弦、正切及余切值?这就是诱导公式要解决的问题.

由于角2kπ+a(k∈Z)的终边与角α的终边重合，因此由定义有

如下诱导公式：

sin(2kπ+α)=sina,cos(2kπ十α)=cosa,

tan(2kπ+a)=tanα,cot(2kπ+a)=cota(k∈Z).

由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可

以转化为求[0,2π]范围内一个角的相应值.

利用诱导公式一进行化简求值的步骤

(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.

(2)转化：根据诱导公式，转化为角α的某个三角函数值.

(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值，若角为非特殊角，则需

化成最简形式．

解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)

＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°

＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.

诱导公式二

角α的终边与角—α的终边关于x轴对称(图6-1-11),角α的终

边与单位圆交于点P(cosa,sinα),而角—α的终边与单位圆交于点

P(cos(-α),sin(-α)).由于点P与点P关于x轴对称，其横坐标相等，

而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式：

sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,

tan(-α)=-tanα,cot(-α)=-cotα.

由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、

正切及余切值可以转化为求正角的相应值.

例题2.下列式子正确的是(D)

诱导公式三

将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转π弧度，得到角π+α

的终边(图6-1-12),这说明角α和角π+α的终边在同一条直线上，但

方向相反.角α的终边与单位圆交于点P(cosα,sinα),角π+α的终边与

单位圆交于点P(cos(π+α),sin(π+α)).由于点P与点P关于原点对称，

其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式：

sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,

tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα.

由这组诱导公式，求(0,2π)范围内的角的正弦、余弦、

正切及余切值可以转化到[0,π]范围内一个角的相应值.

B

诱导公式四

角α的终边与单位圆交于点P(cosα,sinα),而角π—α的

终边与单位圆交于点P(cos(π—α),sin(π—α)).由于角α的

终边和角π—α的终边关于y轴对称(图6-1-13),点P与点P

关于y轴对称，其横坐标为相反数，而纵坐标相等，因

此有如下诱导公式：

sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,

tan(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα.

由这组诱导公式，求(0,π)范围内的角的正弦、余弦、

正切及余切值可以转化到（0,π/2)范围内一个角的相应值.

A

利用以上四组诱导公式，就可以将终边不位于坐标轴上

的任意角的正弦、余弦、正切及余切值，与初中已学过的锐

角的相应值有机地联系起来.

以上四组诱导公式说明，2kπ+α(k∈Z),-α,π±α的正弦、余

弦、正切及余切值的绝对值等于角α的相应量的绝对值，但这

两个值之间可能差一个正负号.由于诱导公式较多，记忆其中

的正负号并不容易，但有一个很简单的方法可以加以判断，

即：当α为锐角时，等式两边必须同时为正数或同时为负数.

例如，cos(π—α)的绝对值应该同cosα的绝对值相等，即成立

cos(π—α)=±cosa.但当α为锐角时，π—α是第二象限的角，这时

cos(π—α)0,而cosα0,所以前式中应该取负号，即有cos(π—α)=-

cosα.

诱导公式五、六

角α的终边与角的终边关于直线y=x对称

(图6-1-14),角α的终边与单位圆交于点P(cosα,sinα),而角

的终边与单位圆交于点

由于点P与点P关于直线y=x对称，即点P的横坐

标与点P的纵坐标相等，而点P的