高考数学 二轮复习 核心考点 思想04 化归与转化思想（讲）【解析版】.docxVIP

第三篇思想方法篇

思想04化归与转化思想（讲）

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方法技巧典例分析

1.转化与化归思想的含义

转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

2．转化与化归的原则

(1)熟悉化原则(2)简单化原则(3)直观化原则

(4)正难则反原则

3.转化与化归的策略方法

(1)直接转化法(2)换元法(3)数形结合法(4)构造法

(5)坐标法(6)类比法(7)特殊化方法(8)等价问题法

(9)加强命题法(10)补集法

4．转化与化归思想在解题中的应用

(1)在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.

(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.

(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.

(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.

(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.

(6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.

5．转化与化归的常见类型：

(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；如在三角函数和解三角形中,主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等.

(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；

(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；

(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.

01等与不等引起的转化

【核心提示】

函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．

【典例分析】

典例1.（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先利用不等式比较a，c的大小，再构造函数，利用函数的单调性比较b，c的大小，即可得到结果．

【详解】如图，单位圆A中，，于D，

则的长度，，则由图易得，，即，

所以.

设，，则，所以在上单调递增，

则，即，即.

综上，.

故选：D．

【点睛】方法点睛：（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；

（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.

典例2.（2022重庆市渝东九校联盟高二下学期期中）定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由的奇偶性和判断出在上的奇偶性和单调性，利用的单调性和奇偶性，求不等式的解集即可.

【详解】∵为奇函数，∴，

∴当时，，

又∵，∴，

当时，，∴在区间上单调递减，

又∵当时，，

∴为上的奇函数，

∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减.

又∵，

∴，即，

∴，

∵在区间上单调递增，∴，

解得.

故选：D.

典例3.（2020·全国高考真题（理））设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；

（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.

【详解】

（1）因为，

由题意，，即

则；

（2）由（1）可得，

，

令，得或；令，得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

且，

若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，

即或.

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当时，，

又，

由零点存在性定理