高考数学 二轮复习 微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（解析版）.docxVIP

微考点6-1圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）

在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：

我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．

这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.

具体办法：

①联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.

②利用点在椭圆方程上代换

题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题

【精选例题】

【例1】已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．

(1)证明：；

(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析

【分析】（1）过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，结合圆的知识可得，，设点，则，由，可得，即得（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得，进而求解；（2）设直线PF的方程为，由题意可得，联立方程组，结合韦达定理可得，，由题知，直线DR的方程为，令，化简即可求解.

【详解】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，

连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以．

由题易知右焦点，设点，则，整理得．

因为，

所以，所以．

【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】

在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得，

所以．

（2）由题知双曲线，渐近线为：，右焦点为，

直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为

因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则．

设，

联立方程组，得，

则．

由题知，直线的方程为，

令，得

，

所以直线DR过定点.

【跟踪训练】

1.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，，，为椭圆上关于轴对称的两点（不与点B重合），，直线与椭圆交于另一点，直线垂直于直线，为垂足．

(1)求的方程；

(2)证明：（i）直线过定点，（ii）存在定点，使为定值．

【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【分析】（1）设方程为，代入点的坐标，得出方程组，求解即得.

（2）（i）设的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出的方程为，令，整理可得，即可得出定点；（ii）由已知可得，即可得出的轨迹，得出答案.

【详解】（1）设的方程为，则，解得，

所以的方程为.

（2）（i）依题意，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，

设点，，则，

由消去并整理得，则，

，，显然，

直线的斜率，直线的方程为，

令，则，

所以直线恒过定点.

（ii）令直线过的定点为点，由，在上，得，

则点在以为直径的圆上，从而的中点为定点，使为定值.

??

【点睛】思路点睛：设的方程为，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.

2.椭圆C:的一个焦点为，且过点．

(1)求椭圆C的标准方程和离心率；

(2)若过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．

【答案】(1)标准方程为C：，离心率为；(2)

【分析】（1）法一：由题意可得，解方程即可求出，可求出椭圆C的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出，再结合求出，可求出椭圆C的标准方程和离心率；

（2）设方程为，，，联立直线MN方程和椭圆的方程可得，表示出直线MP方程，对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，令，将代入化简即可得出答案.

【详解】（1）法一：由题意，可得，

则椭圆C的标准方程为C：，离心率为；

法二：设椭圆的左焦点为，

则由椭圆的定义知，

所以，又，得，则椭圆C的标准方程为C：，

离心率为；

（2）因为直线MN过点且斜率不为0，

所以设直线MN方程为，，，则，

联立，消去x得，，

所以，所以，

直线MP方程为，由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，

所以令，得，且，

所以，

可得，直线MP恒过的定点．

??

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得