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2025年河南（专升本）数学考试练习题及参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.f(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减

D.f(x)在(∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增

答案：D

解析：求导f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。故f(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增。

2.若lim(x→0)(sinxtanx)/x^3=A，则A等于（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：C

解析：利用洛必达法则，求导得lim(x→0)(cosxsec^2)/3x^2=lim(x→0)(cosx1)/x^2。再次使用洛必达法则，得lim(x→0)(sinx)/2x=1。

3.设函数y=lnx，求x=e时曲线的切线方程是（）

A.y1=0

B.y+1=0

C.y2=0

D.y2x+1=0

答案：D

解析：求导y=1/x，当x=e时，y=1/e。切点坐标为(e,1)，切线方程为y1=(1/e)(xe)，整理得y2x+1=0。

4.设函数f(x)=x^2+ax+b在x=1处取得最小值，则a和b的值分别是（）

A.a=2，b=1

B.a=2，b=1

C.a=2，b=1

D.a=2，b=1

答案：A

解析：f(x)=2x+a，令f(1)=0，得a=2。f(1)=b+1为最小值，所以b=0。故a=2，b=1。

5.已知函数f(x)=e^x+sinx，求f(x)（）

A.e^x+cosx

B.e^x+cosxsinx

C.e^xcosx

D.e^xsinx

答案：B

解析：f(x)=e^x+cosx，f(x)=e^xsinx。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^22x+1在区间[0,2]上的最大值为______，最小值为______。

答案：4，0

解析：求导y=2x2，令y=0，得x=1。比较x=0、1、2时，函数的值，得最大值为4，最小值为0。

7.设函数f(x)=(x1)^2，求f(3)的值为______。

答案：4

解析：将x=3代入函数，得f(3)=(31)^2=4。

8.设函数y=2^x，求x=3时，函数的值为______。

答案：8

解析：将x=3代入函数，得y=2^3=8。

9.已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(2)的值为______。

答案：3

解析：求导f(x)=3x^212x+9，将x=2代入，得f(2)=32^2122+9=3。

10.已知函数f(x)=e^x2x，求f(0)的值为______。

答案：1

解析：求导f(x)=e^x2，将x=0代入，得f(0)=e^02=1。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.设函数f(x)=x^33x^2+4x1，求f(x)的单调区间。

解：求导f(x)=3x^26x+4。令f(x)=0，得x=1或x=2/3。当x2/3时，f(x)0；当2/3x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。故f(x)在(∞,2/3)和(1,+∞)内单调递增，在(2/3,1)内单调递减。

12.设函数y=lnx，求x=e时曲线的切线方程。

解：求导y=1/x，当x=e时，y=1/e。切点坐标为(e,1)，切线方程为y1=(1/e)(xe)，整理得y2x+1=0。

13.已知函数f(x)=x^2+ax+b在x=1处取得最小值，求a和b的值。

解：求导f(x)=2x+a，令f(1)=0，得a=2。f(1)=b+1为最小值，所以b=0。故a=2，b=1。