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初一代数一元一次方程实际应用题集

引领你走进初一代数：一元一次方程实际应用题集

一元一次方程是初中代数的入门基石，也是解决实际问题的强大工具。从日常生活的买卖计算到工程进度的规划，从行程问题的追赶到资源分配的优化，都离不开一元一次方程的身影。本应用题集旨在帮助你熟悉一元一次方程的应用场景，掌握将实际问题转化为数学模型的思维方法，提升解题能力。

一、解题方法指导

解一元一次方程应用题，关键在于“审、设、列、解、验、答”六个步骤：

1.审：审题仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。找出题目中的关键信息和数量关系。

2.设：设未知数选择一个适当的未知量用字母（通常用`x`）表示。设未知数时要明确其含义，并带上单位。

3.列：列方程根据题目中的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程）。这是解题的核心步骤。

4.解：解方程运用等式的性质，求出未知数的值。

5.验：检验将求得的未知数的值代入原方程，检验是否满足方程，同时还要检验是否符合实际问题的意义。

6.答：作答写出简明扼要的答案，并带上单位。

在这些步骤中，审题和列方程是难点。审题时要注意关键词，如“多”、“少”、“倍”、“几分之几”、“增加”、“减少”、“相遇”、“追及”等，它们是寻找等量关系的线索。

二、典型题型与例题解析

（一）行程问题

行程问题主要涉及路程、速度和时间三个量，基本关系为：路程=速度×时间。常见类型有相遇问题、追及问题、环形跑道问题等。

例题1：相遇问题

甲、乙两地相距若干千米，一辆快车从甲地开出，每小时行驶60千米；一辆慢车从乙地开出，每小时行驶40千米。两车同时出发，相向而行，经过3小时相遇。求甲、乙两地的距离。

分析与解答：

*审题：已知快车速度、慢车速度、相遇时间，求两地距离。两车相向而行，相遇时所走路程之和等于两地距离。

*设未知数：设甲、乙两地的距离为`x`千米。（或者，也可直接利用路程和等于速度和乘以相遇时间）

*列方程：快车行驶路程+慢车行驶路程=总距离。即`60×3+40×3=x`。

*解方程：`180+120=x`→`x=300`。

*检验：快车3小时行180千米，慢车3小时行120千米，合计300千米，符合题意。

*答：甲、乙两地相距300千米。

例题2：追及问题

小明和小红在同一条直线跑道上跑步，小明在前，小红在后。小明的速度是每分钟200米，小红的速度是每分钟250米。如果两人相距100米，问小红几分钟后能追上小明？

分析与解答：

*审题：已知两者速度，初始距离，同向而行，求追及时间。追及问题的关键是：追及者的路程=被追及者的路程+初始距离。

*设未知数：设小红`x`分钟后能追上小明。

*列方程：小红跑的路程=小明跑的路程+100米。即`250x=200x+100`。

*解方程：`250x-200x=100`→`50x=100`→`x=2`。

*检验：2分钟小红跑500米，小明跑400米，500-400=100米，正好追上。

*答：小红2分钟后能追上小明。

练习：

1.一艘轮船在静水中的速度为每小时15千米，它从甲港顺流而下到达乙港用了8小时，已知水流速度是每小时3千米。求甲、乙两港之间的距离。

2.甲乙两人同时从A地出发去B地，甲骑自行车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米。甲到达B地后立即返回，在途中与乙相遇，此时距他们出发已过了2小时。求A、B两地的距离。

（二）工程问题

工程问题主要涉及工作总量、工作效率和工作时间三个量，基本关系为：工作总量=工作效率×工作时间。通常将工作总量看作单位“1”。

例题3：

一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲、乙两人合作，需要多少天完成这项工程？

分析与解答：

*审题：已知甲、乙单独完成工作的时间，求合作完成时间。

*设未知数：设甲、乙合作需要`x`天完成这项工程。

*找等量关系：甲的工作量+乙的工作量=工作总量（单位“1”）。甲的工作效率是1/10，乙的是1/15。

*列方程：`(1/10)x+(1/15)x=1`。

*解方程：通分，`(3/30+2/30)x=1`→`(5/30)x=1`→`x=6`。

*检验：甲6天完成6/10，乙6天完成6/15，合计6/10+6/15=3/5+2/5=1，正确。

*答：甲、乙两人合作需要6天完成这项工程。

例题4：

一个水池有两个进水管，单开甲管