《4.5.2用二分法求方程的近似解》教案.docx

第四章指数函数与对数函数

4.5.2用二分法求方程的近似解

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一、教学目标

1.了解利用二分法求函数零点近似解的原理，能借助计算工具用二分法求函数零点的近似值；

2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解；

3.了解数学在人类文明发展过程中的作用，形成正确的数学观，激发学习兴趣.

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二、教学重难点

重点：二分法的原理，用二分法求方程的近似解的一般步骤.

难点：对利用二分法求函数零点近似值的原理及精确度的理解.

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三、教学过程

（一）创设情境

情境一：复习回顾

师生活动：教师引导学生复习上节课学习内容，并引出本节课要学习的内容，学生在教师的引导下回顾旧知.

思考1：函数零点的概念是什么？函数零点是不是一个点？

答：把使函数f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数的零点不是一个点，而是实数x的值.

思考2：函数的零点与方程的解的关系是什么？怎样求函数的零点？

答：方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，求函数的零点即求函数值为0时对应的自变量的值，也就是说，求函数的零点可转化为求对应方程的解.

思考3：函数零点存在定理的内容是什么？

答：函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.

思考4：求函数零点的常用数学思想方法有哪些？

答：转化思想、数形结合思想等.

情境二：问题引入

问题1：函数f(x)=ln

答：利用函数零点存在定理进行判断.由定理可知，f(2)=ln2?20，f(3)=ln30，f(2)f(3)0且函数f(x)在

问题2：你能求方程lnx+2x?6=0

师生活动：学生经过简单判断，思考，教师补充.

答：不能.因为大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解即可.比如当精确度为ε时，只需近似值与精确值差的绝对值小于ε即可.

联系函数的零点与方程的解的关系，能否利用函数的有关知识来求它的近似解？

设计意图：通过从学生熟悉的求方程的解入手，复习巩固旧知，并引出如何求不易求解的方程的近似解的话题，激发学生进一步探究的欲望.

（二）探究新知

任务1：探究二分法求方程近似解的原理.

根据函数的零点与方程的解的关系，方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)的图象与x轴有公共点?函数y=f(x)有零点.从而，求方程lnx+2x?6=0的解?求函数f(x)=

探究：根据已知精确度求方程lnx+2x?6=0

思考1：误差与精确度的含义是什么？

答：一般地，误差是指近似值（或测量值）与准确值之间的差异.近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x0为准确值，x为x0的一个近似值，若x?x0ε，则x

思考2：当精确度为0.5时，你能得到函数f(x)=lnx+2x?6

师生活动：学生自主探究，教师评价.

答：零点在区间(2,3)内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.

教师给出区间的中点的定义：一般地，称x=a+b2为区间

思考3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？

答：零点是在2,2.5内，还是在2.5,3内？这时要考虑f(2)f(2.5)，f(2.5)f(3)的符号.由计算工具得f(2.5)≈?0.084，由f(2.5)f(3)0可知，零点在区间2.5,3内，由数轴上2.5和3之间的距离为0.5可知，零点和3之间的距离小于0.5，因此，3可以看做零点的一个近似值.

思考4：当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，至少需要将零点所在的区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法逐步缩小零点所在的区间？

师生活动：学生思考，教师点评.

答：当精确度缩小到0.01时，长度小于0.01的零点在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.与上述问题类似的方法，通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.

具体过程如下：

取区间(2,3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈?0.084.

因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内.

再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.

因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.

由于(2,3)?(2.5,3