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八年级数学等边三角形练习题解

在初中几何的学习旅程中，等边三角形无疑是一个闪耀的明星。它以三条边相等、三个角均为六十度的完美对称性，成为解决众多几何问题的基石与桥梁。掌握等边三角形的性质与判定，并能灵活运用于解题，是八年级数学学习的重要目标。本文将结合典型例题，为同学们详细剖析等边三角形问题的解题思路与方法技巧，希望能对大家的学习有所助益。

一、核心知识回顾

在深入解题之前，我们先来梳理一下等边三角形的核心知识，这是我们解题的“武器库”。

1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。

2.性质：

*等边三角形的三条边长度相等（“等边对等角”的基础）。

*等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。

*等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线和所对角的平分线所在的直线。

*等边三角形具有“三线合一”的性质，即顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。这一性质在证明线段相等、角相等以及垂直关系时尤为重要。

3.判定：

*三条边都相等的三角形是等边三角形。

*三个角都相等的三角形是等边三角形。

*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（这是一个非常重要的判定方法，常常在解题中巧妙运用）

二、典型例题精析

例题1：利用等边三角形的性质求角度

题目：如图1，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。求∠AFE的度数。

分析：

首先，题目给出的是等边三角形ABC，所以我们可以立即联想到AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°。点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE。AD与BE交于F，要求∠AFE的度数。

求角度，通常需要利用三角形的内角和定理、外角性质，或者通过证明全等、相似等得到角的关系。这里有边相等（BD=CE），有角相等（60°），所以很自然地会想到证明三角形全等。

我们可以尝试证明△ABD和△BCE是否全等。AB=BC（等边三角形性质），∠ABD=∠BCE=60°（等边三角形性质），BD=CE（已知）。哎，这正好符合“SAS”的全等判定条件！

如果△ABD≌△BCE，那么对应角相等，即∠BAD=∠CBE。

现在来看∠AFE，它是△ABF的一个外角。根据三角形外角的性质，∠AFE=∠BAD+∠ABE。而我们刚刚得到∠BAD=∠CBE，所以∠AFE=∠CBE+∠ABE。而∠CBE+∠ABE正好是∠ABC，也就是60°。所以∠AFE=60°。

解答：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°。

在△ABD和△BCE中，

AB=BC，

∠ABD=∠C，

BD=CE，

∴△ABD≌△BCE(SAS)。

∴∠BAD=∠CBE。

∵∠AFE是△ABF的外角，

∴∠AFE=∠BAD+∠ABE。

又∵∠BAD=∠CBE，

∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°。

答：∠AFE的度数为60°。

点评：本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，同时运用了三角形外角的性质。解题的关键在于根据已知条件（BD=CE）和等边三角形的性质，准确地找到并证明全等三角形，从而实现角的等量代换。

例题2：等边三角形的判定与性质综合应用

题目：如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，且AD=BD，AC=CD。求∠B的度数，并判断△ADC的形状。

分析：

题目中给出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。D是BC上一点，AD=BD，所以△ABD也是等腰三角形，∠B=∠BAD。AC=CD，所以△ADC也是等腰三角形，∠CAD=∠CDA。要求∠B的度数，并判断△ADC的形状。

这是一个利用等腰三角形性质求角度，并进而判定三角形形状的问题。我们知道，三角形的内角和是180°，所以可以通过设未知数，利用角之间的关系列方程求解。

设∠B的度数为x。因为AB=AC，所以∠C=∠B=x。

因为AD=BD，所以∠BAD=∠B=x。

那么，在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-2x。

∠ADB与∠ADC是邻补角，所以∠ADC=180°-∠ADB=180°-(180°-2x)=2x。

又因为AC=CD，所以∠CAD=∠ADC=2x。

现在看△ABC的内角和：∠BAC+∠B+∠C=180°。而∠BAC=∠BAD+∠CAD=x+2x=3x。

所以，3x+x+x=180°，即5x=180°，解得x=36°。所以∠B=36°。

接下来判断△ADC的形状。我们已经知道AC=CD，所以它是等腰三角形。它的顶角∠C