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2025年集合解答题题库及答案

题目1

设集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，\(C=\{x|x^2mx+2=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，\(A\capC=C\)，求实数\(a\)，\(m\)的值。

答案

1.首先求解集合\(A\)：

对于方程\(x^23x+2=0\)，分解因式得\((x1)(x2)=0\)。

解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。

2.然后求解集合\(B\)：

对于方程\(x^2ax+a1=0\)，分解因式得\((x1)[x(a1)]=0\)。

解得\(x=1\)或\(x=a1\)，所以\(B=\{1,a1\}\)。

3.由\(A\cupB=A\)可知\(B\subseteqA\)：

因为\(B=\{1,a1\}\subseteqA=\{1,2\}\)，所以\(a1=1\)或\(a1=2\)。

当\(a1=1\)时，\(a=2\)；当\(a1=2\)时，\(a=3\)。

4.接着由\(A\capC=C\)可知\(C\subseteqA\)，分以下几种情况讨论集合\(C\)：

情况一：\(C=\varnothing\)

对于方程\(x^2mx+2=0\)，其判别式\(\Delta=m^28\lt0\)。

解不等式\(m^28\lt0\)，即\(m^2\lt8\)，得\(2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\)。

情况二：\(C=\{1\}\)

若\(x=1\)是方程\(x^2mx+2=0\)的唯一解，将\(x=1\)代入方程得\(1m+2=0\)，解得\(m=3\)。

此时方程为\(x^23x+2=0\)，另一解为\(x=2\)，不满足\(C=\{1\}\)，舍去。

情况三：\(C=\{2\}\)

若\(x=2\)是方程\(x^2mx+2=0\)的唯一解，将\(x=2\)代入方程得\(42m+2=0\)，解得\(m=3\)。

此时方程为\(x^23x+2=0\)，另一解为\(x=1\)，不满足\(C=\{2\}\)，舍去。

情况四：\(C=\{1,2\}\)

若\(C=\{1,2\}\)，则\(1\)和\(2\)是方程\(x^2mx+2=0\)的两个解，根据韦达定理\(1+2=m\)，解得\(m=3\)。

综上，\(a=2\)或\(a=3\)；\(m=3\)或\(2\sqrt{2}\ltm\lt2\sqrt{2}\)。

题目2

已知集合\(A=\left\{x\vert\frac{x2}{x+5}\lt0\right\}\)，\(B=\{x|x^22x3\geq0,x\inR\}\)，求\(A\cupB\)，\((\complement_{R}A)\capB\)。

答案

1.首先求解集合\(A\)：

对于不等式\(\frac{x2}{x+5}\lt0\)，其等价于\((x2)(x+5)\lt0\)。

令\((x2)(x+5)=0\)，解得\(x=2\)或\(x=5\)。

根据二次函数\(y=(x2)(x+5)=x^2+3x10\)的图象（开口向上），可得不等式的解为\(5\ltx\lt2\)，所以\(A=\{x|5\ltx\lt2\}\)。

2.然后求解集合\(B\)：

对于不等式\(x^22x3\geq0\)，分解因式得\((x3)(x+1)\geq0\)。

令\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=1\)。

根据二次函数\(y=(x3)(x+1)=x^22x3\)的图象（开口向上），可得不等式的解为\(x\leq1\)或\(x\geq3\)，所以\(B=\{x|x\leq1或x\geq3\}\)。

3.求\(A\cupB\)：

\(A\cupB\)是由属于\(A\)或属于\(B\)的所有元素组成的集合。

所以\(A\cupB=\{x|x