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高斯公式与斯托克斯公式

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一、高斯公式

定理

PQR

或()dv

xyz

(PcosQcosRcos)dS,



其中是整个边界曲面的外侧，cos,cos,cos

是曲面上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.

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z

证明设闭区域在面xoy

2

上的投影区域为.

Dxy



由,和三部分组成,

1233



1:zz1(x,y)1

Dy

2:zz2(x,y)oxy

3x

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根据三重积分的计算法

Rz2(x,y)R

dv{dz}dxdy

zz1(x,y)z

Dxy



{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdy.

Dxy(取下侧,取上侧,取外侧)

123

根据曲面积分的计算法



R(x,y,z)dxdyR[x,y,z1(x,y)]dxdy,

1Dxy



R(x,y,z)dxdyR[x,y,z2(x,y)]dxdy,

2Dxy

R(x,y,z)dxdy0.

3

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于是R(x,y,z)dxdy



=RdxdyRdxdyRdxdy

123



{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdy,

Dxy

R

dvR(x,y,z)dxdy.

z

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P

同理dvP(x,y,z)dydz,

x

Q

dvQ(x,y,z)dzdx,

y

合并以上三式得：

PQR

()dvPdydzQdzdxRdxdy.

xyz

------------------高斯公式

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由两类曲面积分之间的关系知

PQR

()dv

xyz

(PcosQcosRcos)dS.



Gauss公式的实质