第29讲453函数模型的应用（教师版）-（人教A版数学必修一讲义）（试卷共享圈）.docxVIP

第07讲4.5.3函数模型的应用

课程标准

学习目标

①了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

②在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

通过本节课的学习，掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式等知识交汇．

知识点一：常见函数模型

7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合

题型01指数、对数、幂函数模型的增长差异

【典例1】（2023·高一课时练习）若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表.

x

1

3

5

7

9

11

5

25

45

65

85

105

5

29

245

2189

19685

5

6.10

6.61

6.95

7.2

7.6

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【详解】由题表可知，随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.

故选:B.

【典例2】（2023·高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是.

【答案】①

【详解】由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，

故答案为：①.

【答案】D

故选：D.

【变式2】（2022秋·高一单元测试）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（????）

【答案】D

【详解】A选项是常数函数，B选项是一次函数，C、D选项都是指数型函数，

所以随着的增大，增长速度最快的是D.

故选：D.

题型02根据实际问题增长率选择合适的模型

【典例1】（2023·全国·高三对口高考）在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：

x

0

1.0

2.0

3.0

y

0.24

0.51

1

2.02

3.98

8.02

则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a、b为待定系数）？（????）

【答案】D

变化

到

到

到

到

由上，随增大，逐渐变大，即的变化不为定值，排除B.

故选：D

【典例2】（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

3

9

27

81

2

以下函数中最符合变量与的对应关系的是（????）

【答案】D

【详解】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，

对选项A：增长速度不变，不满足；

对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足.

故选：D

【典例3】（2023春·湖南株洲·高一校考开学考试）某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：

上市时间天

2

6

20

市场价元

102

78

120

(1)根据如表数据，请选取一个恰当的函数模型并说明理由；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低为70元

故当该纪念章上市10天时，市场价最低为70元．

【变式1】（2023·全国·高三对口高考）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（????）

1.95

3.00

3.94

5.10

6.12

0.97

1.59

1.98

2.35

2.61

【答案】B

【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随变大增长率变小，只有B符合；

??

代入值偏差较大，不符合要求；

故选：B.

【变式2】（2023·高一课时练习）农场为了解某农作物的产量情况，将近四年的年产量（单位：万斤）与年份序号x之间的关系统计如下：

x（第×年）

1

2

3

4

（万斤）

4.00

5.62

7.00

8.86

则你认为最适合的函数模型的序号是__________．请简要说明理由．

【答案】①，理由见解析

【详解】①，理由如下：

故最适合的函数模型的序号是①.

【变式3】（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：

时间t

7

9

10

11

13

种植成本Q

19

11

10

11

19

为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：

(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；

(2)20

所以实数m的最大值为20

题型03利用二次函数模型解决实际问题

【答案】摩托车数量在51到59辆

因为取正整数，

所以该工厂