初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化可化为一元二次方程的方程.docVIP

第六讲转化—可化为一元二次方程的方程

数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”

转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．

【例题求解】

注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．

解下列方程：

注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．

思路点拨先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值．

注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．

思路点拨通过换元可得到两个关于的含参数的一元二次方程，利用判别式求出的值．

注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．

学历训练

A．60B．一60C．10D．一10

A．2B．1C．不为2或一2D．无法确定

A．1或一2B．一1或2C．1D．一2

7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；

(3)请写出这列方程中的第个方程和它的解，并验证所写出的解适合第个方程．

序号

方程

方程的解

1

=

=

2

=4

=6

3

=5

=8

…

…

…

…

8．解下列方程：

14．解下列方程：

17．已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥上AD交BD于E点，交BC于点F．

(1)求证：AD2=DE×DB；

参考答案