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探索Clifford分析中双超正则函数的性质与应用

一、引言

1.1研究背景

19世纪，WilliamKingdonClifford创立了Clifford代数，这一代数系统将矢量代数与复分析巧妙融合，为描述高维空间中的函数与运算提供了有力工具，Clifford分析理论也由此逐步发展起来。在Clifford分析中，正则函数作为单复分析里全纯函数在高维空间的推广，是该理论的核心研究对象之一，许多全纯函数的经典性质和定理，如Cauchy积分公式、Morera定理、刘维尔定理等，都被成功推广到正则函数中，为解决高维空间的数学问题开辟了新途径。

随着研究的深入，学者们发现有些常用函数并不满足正则函数的条件，于是在2000年，Eriksson-Bique和Leutwiler引入了超正则函数的定义，进一步拓展了Clifford分析的研究范畴。双超正则函数是在超正则函数基础上的又一重要扩充，它与Clifford代数中的双超数紧密相关。双超数由实数和两个虚数单位组成，双超正则函数类似于复数理论中的解析函数，在Clifford分析的理论体系里占据着独特且重要的地位，为研究高维空间中更为复杂的函数性质和运算提供了新的视角。

1.2研究目的与意义

本研究旨在深入探究Clifford分析中双超正则函数的性质，包括其定义、基本性质、微分和积分表示、奇点和极点以及Cauchy-Riemann方程等方面。通过对这些性质的研究，一方面可以完善和丰富Clifford分析的理论体系，加深对高维空间中函数分析的理解，从理论层面推动数学分析领域的发展；另一方面，双超正则函数在物理学、工程学等多个实际领域都具有潜在的应用价值。例如在物理学的光电现象研究中，双超正则函数可以为相关物理模型的构建和分析提供数学支持，有助于更深入地理解物理过程，为解决实际物理问题提供新的方法和思路，从而在实际应用中发挥重要作用。

1.3国内外研究现状

在国外，自Clifford分析理论建立以来，众多学者围绕正则函数、超正则函数以及相关算子理论展开了深入研究。Brackx、Delanghe和Sommen所著的《Cliffordanalysis》奠定了Clifford分析的理论基础，其中对正则函数的诸多重要成果，如Laurent展式和留数定理的研究，为后续学者的研究提供了重要参考。Eriksson-Bique和Leutwiler引入超正则函数后，国外学者对其性质和应用进行了广泛探讨。近年来，对于双超正则函数的研究也逐渐兴起，部分学者在双超正则函数的积分公式、奇点分析等方面取得了一定进展，但仍存在许多未解决的问题和待拓展的研究方向。

国内方面，闻国椿、黄沙、乔玉英等学者在Clifford分析领域开展了一系列研究工作，在正则函数和超正则函数的性质、边值问题等方面取得了丰富成果。对于双超正则函数，国内学者也开始关注并进行研究，如通过讨论相关奇异积分算子的H?lder连续性及其估值，研究了二次拟Cauchy型奇异积分算子的H?lder连续性，为研究双超正则函数的性质及其迭代逼近奠定了理论基础。然而，目前国内对双超正则函数的研究尚处于起步阶段，在理论体系的完善和实际应用的拓展方面还有很大的研究空间。

二、Clifford分析与双超正则函数基础

2.1Clifford分析概述

Clifford代数是一种具有独特结构的结合代数，它以向量空间为基础，通过引入特定的乘法规则，将向量的运算进行了拓展。设\{e_0=1,e_1,\cdots,e_n\}为R^{n+1}的标准正交基，在此基础上生成的Clifford代数A_{n+1}(R)是一个2^{n+1}维的空间，其元素可以表示为\sum_{A\subseteq\{1,\cdots,n\}}a_Ae_A，其中a_A\inR，e_A=e_{i_1}e_{i_2}\cdotse_{i_k}（A=\{i_1,i_2,\cdots,i_k\}且1\leqi_1i_2\cdotsi_k\leqn）。在Clifford代数中，向量的乘法满足e_ie_j+e_je_i=-2\delta_{ij}（\delta_{ij}为克罗内克符号），这一规则使得Clifford代数能够自然地处理向量的内积和外积运算，为描述高维空间中的几何和物理现象提供了有力工具。

Clifford分析正是建立在Clifford代数基础之上的数学分支，主要研究从实向量空间R^{n+1}到Clifford代数A_{n+1}(R)的函数。在Clifford分析中，Dirac