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平行线比例定理教学视频脚本

引言：几何世界的桥梁

同学们，大家好。今天我们要一同探索平面几何中一个非常重要且实用的定理——平行线比例定理。或许大家在之前的学习中，已经对平行线有了一些初步的认识，知道它们永不相交，知道它们被第三条直线所截会产生同位角、内错角相等，同旁内角互补这些性质。但平行线的作用远不止于此，它们就像一把精密的尺子，可以帮助我们测量和计算那些看似难以触及的距离与比例。今天，我们就来揭开这个定理的神秘面纱，看看它是如何通过几条简单的平行线，构建起线段之间美妙的数量关系。

第一幕：情境导入——观察与猜想的起点

(场景：动画演示或PPT展示)

画面：屏幕上出现一组水平方向的平行线（l?∥l?∥l?），然后出现一条倾斜的直线a，与这三条平行线分别相交于点A、B、C。接着，再出现另一条倾斜方向不同的直线b，同样与这三条平行线相交于点D、E、F。线条颜色鲜明，交点清晰标出字母。

旁白：我们来看这样一个场景。这里有三条互相平行的直线，我们暂且称它们为l?、l?、l?。现在，我们用两条不平行的直线a和b去截这组平行线，于是就在直线a上得到了线段AB和BC，在直线b上得到了线段DE和EF。大家仔细观察一下，这些线段之间会不会存在什么特殊的数量关系呢？

(稍作停顿，给学生思考时间)

画面：可以用不同颜色高亮显示AB、BC以及DE、EF。或者，用动态的方式，将AB和BC的长度进行某种对比示意，同样对DE和EF也进行类似处理，但不直接给出结论。

旁白：如果我移动其中一条平行线，或者改变直线a、b的倾斜程度，刚才你观察到的那种关系，还会保持吗？（配合画面演示）这不仅仅是巧合，这里面蕴含着一个重要的几何规律，这就是我们今天要学习的——平行线分线段成比例定理。

第二幕：定理剖析——拨开迷雾见本质

画面：清晰呈现定理的文字表述、图形语言和符号语言。

*文字表述：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

*图形语言：与第一幕相似的图形，但更规范，标注清晰。

*符号语言：∵l?∥l?∥l?，∴AB/BC=DE/EF(或AB/AC=DE/DF,BC/AC=EF/DF)。

旁白：我们来把这个定理剖析一下。“三条平行线”，这是前提条件，必须是平行的，而且是三条。“截两条直线”，这两条直线可以平行，也可以不平行，它们被这三条平行线所截。“所得的对应线段成比例”，这是结论。关键在于“对应线段”这四个字，大家一定要搞清楚，哪条线段和哪条线段是对应的。

画面：用不同颜色的箭头或者线条，分别指示出AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段。

旁白：你看，直线a被平行线l?、l?截得的线段是AB，直线b被平行线l?、l?截得的线段是DE，那么AB和DE就是对应线段。同样，直线a被平行线l?、l?截得的线段是BC，直线b被平行线l?、l?截得的线段是EF，那么BC和EF就是对应线段。所以它们的比是相等的。当然，我们也可以考虑整条线段的比例，比如AB比上AC，就等于DE比上DF，这些都是正确的，大家可以自己推导一下。

(停顿)

画面：将其中一条截线旋转，使其与另一条截线相交，形成一个三角形的模型（即三角形一边的平行线的情况）。

旁白：在我们后续的学习中，最常见也最有用的一种情况，是这两条被截的直线相交了，形成了一个三角形。比如这样，一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），如果所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。哎，这听起来像是一个逆定理？没错，这就是我们接下来要重点理解和掌握的——三角形一边平行线的性质定理及其逆定理。不过，我们一步一步来，先把基础打牢。

第三幕：定理证明——知其然更要知其所以然

画面：回到最初的三条平行线截两条直线的基本图形。

旁白：这个定理为什么是正确的呢？我们能不能尝试着去证明它？证明线段成比例，我们目前学过的方法似乎不多。相似三角形！对，如果能构造出相似三角形，那么对应边就成比例了。

画面：动画演示辅助线的作法：过点A作直线b的平行线，分别交l?于点G，交l?于点H。这样就构成了一个平行四边形AGED和一个平行四边形GHEF。

旁白：我们可以过点A作一条辅助线，平行于直线b，交l?于G，交l?于H。因为AG平行于DE，AD平行于GE（因为l?平行于l?），所以四边形AGED是平行四边形。根据平行四边形的性质，对边相等，所以AG就等于DE。同理，GH等于EF。

画面：重点突出三角形AGH。

旁白：现在我们来看三角形AGH。因为l?平行于l?，根据我们之前学过的平行线分线段成比例的预备定理（或者说，根据相似三角形的判定定理，如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），这里可以引导学生思考△ABG和△AHC是否相似。