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全等三角形SAS专题测试与解析

全等三角形的判定与性质是平面几何的入门基石，其中“边角边”（SAS）定理因其应用的灵活性和条件的特定性，成为初学者必须扎实掌握的重点。本次专题测试旨在检验同学们对SAS定理的理解深度与应用能力，通过不同梯度的题目，帮助大家梳理思路，巩固基础，并提升综合分析能力。请在独立思考后完成以下题目，再对照解析进行反思。

一、专题测试题

(一)基础巩固

1.如图1，已知线段AB与CD相交于点O，且AO=BO，CO=DO。求证：△AOC≌△BOD。

*(请自行根据描述绘制图形：两条线段AB、CD相交于O点，形成对顶角)*

2.如图2，点E、F在AC上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。

*(请自行根据描述绘制图形：AD与BC平行，E、F在AC上，且AE和CF是AC上的两条较短相等线段)*

(二)能力提升

3.如图3，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE。求证：BC=DE。

*(请自行根据描述绘制图形：AB与AD可能共端点A，AC与AE也共端点A，∠BAD和∠CAE是具有公共部分∠DAC的两个相等角)*

4.如图4，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：∠B=∠C。

*(请自行根据描述绘制图形：一个等腰三角形ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，AD=AE)*

(三)综合应用

5.如图5，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD。过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：EB=FC。

*(请自行根据描述绘制图形：△ABC，AD是角平分线，D是BC中点，DE、DF分别垂直AB、AC)*

二、解析与点评

(一)基础巩固

1.证明：

在△AOC和△BOD中，

∵AO=BO(已知)，

∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，

CO=DO(已知)，

∴△AOC≌△BOD(SAS)。

点评：本题直接考查SAS定理的基本应用。关键在于识别对顶角这一隐含的等角条件，这是利用SAS证明全等时常见的“夹角”来源。证明过程需注意对应顶点的顺序书写。

2.证明：

∵AD∥BC(已知)，

∴∠A=∠C(两直线平行，内错角相等)。

∵AE=CF(已知)，

∴AE+EF=CF+EF(等式的性质)，即AF=CE。

在△AFD和△CEB中，

AD=CB(已知)，

∠A=∠C(已证)，

AF=CE(已证)，

∴△AFD≌△CEB(SAS)。

点评：本题在SAS的应用基础上，结合了平行线的性质和平等式的基本性质。难点在于通过线段的和差关系推导出AF=CE，这是构造SAS条件中“边相等”的常用技巧。同时，准确识别AD与BC的夹角（即∠A与∠C）是证明的核心。

(二)能力提升

3.证明：

∵∠BAD=∠CAE(已知)，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC(等式的性质)，即∠BAC=∠DAE。

在△ABC和△ADE中，

AB=AD(已知)，

∠BAC=∠DAE(已证)，

AC=AE(已知)，

∴△ABC≌△ADE(SAS)。

∴BC=DE(全等三角形的对应边相等)。

点评：本题考查了通过角的和差关系构造SAS定理所需的“夹角相等”条件。题目中给出的∠BAD和∠CAE并非直接的三角形内角，需要通过添加公共角∠DAC，推导出△ABC与△ADE的夹角∠BAC和∠DAE相等。这是SAS应用中较为典型的“角的转化”问题，需要较强的图形观察能力。证明线段相等，通过证明其所在的三角形全等是常用策略。

4.证明：

在△ABE和△ACD中，

AB=AC(已知)，

∠A=∠A(公共角)，

AE=AD(已知，AE=AD由AD=AE直接得到)，

∴△ABE≌△ACD(SAS)。

∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。

点评：本题看似简单，但需要准确把握“对应”关系。虽然题目欲证∠B=∠C，它们分别在△ABE和△ACD中。通过观察，AB=AC，AD=AE，以及它们的公共夹角∠A，恰好构成SAS的三个条件。本题也间接考查了学生对已知条件的灵活运用和对全等三角形对应角相等性质的理解。

(三)综合应用

5.证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC(已知)，

∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义)。

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

BD=CD(已知)，

DE=DF(已证)，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)。

∴EB=FC(全等三角