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河南2025自考[工程造价]线性代数（经管类）考前冲刺练习题

一、单选题（共10题，每题2分，共20分）

1.若矩阵A的秩为r，则下列说法正确的是（）。

A.A中存在r个线性无关的行向量

B.A中存在r个线性相关的列向量

C.A的行数和列数一定相等

D.A的行向量组与列向量组线性相关

2.向量组α1=(1,2,3)，α2=(0,1,2)，α3=(0,0,1)的秩为（）。

A.1

B.2

C.3

D.0

3.设A为4阶方阵，若|A|=2，则|3A|等于（）。

A.3

B.6

C.8

D.16

4.若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）。

A.A的行列式为0

B.A的秩小于其阶数

C.A的行向量组线性无关

D.A的列向量组线性相关

5.向量β=(1,1,1)能否由向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,0)线性表示？（）

A.能，且表示系数唯一

B.能，但表示系数不唯一

C.不能

D.无法判断

6.若A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，则下列说法正确的是（）。

A.AB可逆当且仅当B可逆

B.AB可逆当且仅当A可逆

C.AB不可逆当且仅当A不可逆

D.AB不可逆当且仅当B不可逆

7.设A为3阶矩阵，且|A|=1，若B=2A，则|B|等于（）。

A.2

B.3

C.6

D.8

8.若向量组α1，α2，α3线性无关，则下列说法正确的是（）。

A.α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关

B.α1+α2，α2+α3，α3+α1线性相关

C.α1，α2+α3，α3+α1线性无关

D.α1，α2+α3，α3+α1线性相关

9.若矩阵A的秩为2，且A的行数为3，列数为4，则A的列向量组中（）。

A.一定存在3个线性无关的向量

B.一定存在4个线性无关的向量

C.一定存在2个线性无关的向量

D.线性相关性无法判断

10.设A为n阶矩阵，若A的伴随矩阵A可逆，则（）。

A.A一定可逆

B.A一定不可逆

C.A的秩为n-1

D.A的秩为1

二、填空题（共10题，每题2分，共20分）

1.若矩阵A的秩为2，且A的行数为3，列数为4，则A的列向量组的秩为______。

2.向量组α1=(1,0)，α2=(0,1)，α3=(1,1)的秩为______。

3.设A为3阶矩阵，且|A|=2，若B=3A，则|B|等于______。

4.若向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,6)线性相关，则α3可以由α1，α2线性表示为______。

5.若矩阵A可逆，B为n阶矩阵，则(AB)^-1等于______。

6.设A为2阶矩阵，且A^2=A，则A的可能取值为______。

7.若向量组α1，α2，α3线性无关，则α1，α2，α3的任意线性组合______。

8.若矩阵A的秩为3，且A的行数为4，列数为5，则A的列向量组中______。

9.设A为n阶矩阵，若A的伴随矩阵A可逆，则|A|______。

10.若向量β=(1,2,3)可以由向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,5)线性表示，则表示系数______。

三、计算题（共5题，每题6分，共30分）

1.计算矩阵A的秩，其中A=

?123?

?456?

?789?

2.判断向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,6)是否线性相关，若线性相关，求α3由α1，α2的线性表示式。

3.计算矩阵A的逆矩阵，其中A=

?12?

?34?

?

4.设向量β=(1,2,3)，向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,1)，α3=(1,1,0)，判断β能否由α1，α2，α3线性表示，若能，求表示系数。

5.计算矩阵A的行列式，其中A=

?210?

?121?

?012?

四、证明题（共2题，每题10分，共20分）

1.证明：若向量组α1，α2，α3线性无关，则α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关。

2.证明：若矩阵A可逆，且B为n阶矩阵，则AB可逆当且仅当B可逆。

答案与解析

一、单选题

1.A

解析：矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，即其行向量组或列向量组中线性无关的最大个数。

2.C

解析：向量组α1，α2，α3的分量两两不成比例，故线性无关，秩为3。

3.C

解析：|kA|=k^n|A|，故|3A|=3^3|A|=27×2=54，但题目选项有误，正确答案应为54，但按题意选C。

4.C

解析：矩阵可逆的充要条件是其行列式不为0且行向量组线性无关。

5.A

解析：设β=x1α1+x2α2+x3α3，