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常见的数学模型一角平分线问题八大模型

[见学生用书《常见的10类数学模型》P1]

角平分线＋边的垂线构造

【数学建模】

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，构造相等线段、全等三角形.

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PB＝PA，则Rt△AOP≌Rt△BOP.

【模型运用】

1.如图，OE平分∠AOB，EC⊥OB于点C，D为射线OA上的动点.若EC＝2，则DE的最小值为(C)

A.1 B.3

C.2 D.3

第1题图

第1题答图

【解析】如答图，过点E作EH⊥OA于点H.

∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，

∴EH＝EC＝2.

当点D与点H重合时，DE的值最小，为2.

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝7，则BE＝?13－6

第2题图

角平分线＋角平分线的垂线构造等腰三角形

【数学建模】

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交构造等腰三角形，利用“三线合一”解题.

如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上一点，AP⊥OP，延长AP交ON于点B，则Rt△AOP≌Rt△BOP，△AOB是等腰三角形.

【模型运用】

3.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝6，BC＝4，则BD的长为(A)

A.1 B.1.5

C.2 D.2.5

第3题图

第3题答图

【解析】如答图，延长BD，与AC相交于点E.

∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE.

∵BD⊥CD，∴BE⊥CD.

∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，

∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，

∴2BD＝BE.

∵AC＝6，BC＝4，∴CE＝4，

∴AE＝AC－EC＝6－4＝2，

∴BE＝2，∴BD＝1.

角平分线＋对称构造全等三角形

【数学建模】

如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连结PB，则△OPB≌△OPA.

【模型运用】

4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证:AB＝AC＋CD.

第4题图

第4题答图

证明:如答图标注角，在AB上取点E，使得AE＝AC.

∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.

在△AED和△ACD中，∵AE

∴△AED≌△ACD(SAS)，

∴∠AED＝∠C，ED＝CD.

又∵∠C＝2∠B，且∠AED＝∠B＋∠BDE，

∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，

∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.

角平分线＋平行线构造等腰三角形

【数学建模】

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，则△QOP为等腰三角形.

【模型运用】

5.[2023·株洲]如图，在?ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分线交线段CD于点E，则EC＝2.?

第5题图

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DC＝AB，

∴∠DEA＝∠EAB.

∵AE是∠DAB的平分线，

∴∠EAB＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DAE，

∴AD＝DE.

∵AD＝3，AB＝5，

∴EC＝DC－DE＝AB－AD＝2.

6.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD＋CE＝10，则线段DE的长为10.?

第6题图

7.如图，在?ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线分别交CD于点E，F(点E在点F的右侧)，若AD＝5，EF＝4，则AB的长是6.?

第7题图

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝5，AB＝DC，AB∥DC.

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠BAE.

∵AB∥DC，∴∠DEA＝∠BAE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴AD＝DE＝5.

同理，得CF＝BC＝5，

∴AB＝CD＝DE＋CF－EF＝5＋5－4＝6.

8.如图，∠ABC的平分线与△ABC中的∠ACB的相邻外角∠ACM的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E.

(1)找出图中所有的等腰三角形，并加以证明.

(2)线段BD，CE，DE之间存在着怎样的数量关系?为什么?

第8题图

解:(1)图中有2个等腰三角形，△BDF和△CEF.证明如下:

∵BF，CF分别平分∠ABC，∠ACM，

∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM.

∵DF∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCM，

∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，

∴BD＝FD，EF＝CE，

∴△BDF和