2026年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形重难点培优02复习讲义（解析版+原卷版）.docxVIP

重难点培优05解三角形中的几何图形及证明类问题

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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1

02题型精研?技巧通法提能力 2

题型一几何图形：运用两次正弦定理（★★★★★） 2

题型二几何图形：运用两次余弦定理（★★★★★） 10

题型三几何图形：运用正、余弦定理综合（★★★★★） 18

题型四几何图形结合中线（★★★★★） 25

题型五几何图形结合角平分线（★★★★★） 36

题型六几何图形结合垂线（★★★★） 43

题型七解三角形结合“四心”（★★★） 50

题型八证明等式（不等式）（★★★） 61

03实战检测?分层突破验成效 68

检测Ⅰ组重难知识巩固 68

检测Ⅱ组创新能力提升 93

1、解决三角形图形类问题的方法

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

题型一几何图形：运用两次正弦定理

1．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.

(1)求线段AC的长度；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解；

（2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得.

【详解】（1），，

，，

在中，由余弦定理得：

，；

（2）在中，由正弦定理得：，

，，

，，

在中，由正弦定理得：，

，.

2．在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，．

(1)求角的值；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，利用正弦定理边角互化，结合恒等变换得到，则求解；

（2）设，，，则，，在中，由正弦定理得到，在中，利用正弦定理并化简得到，利用正弦函数的性质求解.

【详解】（1）由，得

整理得，

因为，所以，

由为三角形内角得；

（2）设，，，则，，

中，由正弦定理得，

故，

中，由正弦定理得，

故

??

因为，所以时，

当，即时，*式；当，即时，*式，

故的取值范围为

3．（2025·河南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．

(1)证明：；

(2)证明：；

(3)记，若，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）设，则，在和中，利用余弦定理分别表示，即可得证.

（2）在和中，利用正弦定理结合即可证明.

（3）若，根据三角形相似得，与已知矛盾；若，则，结合已知得，利用二倍角余弦公式化简得，求解即可.

【详解】（1）设，则．

由余弦定理得，

所以，所以．

（2）在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

由（1）知，又，所以．

（3）若，则，得，与已知矛盾．

若，则，

所以化为，即，

整理得，即，解得．

4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形中，平分.

(1)若，求；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理结合已知的边的关系，即可求角的余弦值，再用二倍角公式即可求解；

（2）利用两个三角形的正弦定理，组方程组求角的三角函数值，再用两角和公式求角，求面积.

【详解】（1）

在中，已知，，结合余弦定理得：

，

因为，所以，

又因为平分

所以.

（2）设.

在中，由正弦定理，得，

得，即.

在中，由正弦定理，得.

由得.

因为，所以，则，得.

易知，则，

得.

又因为，

所以的面积为.

5．如图，在平面四边形中，，，，

(1)求四边形的周长；

(2)若点在的外接圆的优弧上，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式求出，再在中用余弦定理求出，接着在中用余弦定理求出，从而得到四边形的周长；

（2）在中通过正弦定理将用角的三角函数表示，然后利用两角和的正弦公式化简的表达式并利用三角函数的性质求出其最大值.

【详解】（1）因为，所以，

在中，由余弦定理得，

所以，

在中，由余弦定理得，

所以，解得，

所以四边形的周长为；

（2）

如上图，在中，