高考数学一轮复习 第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切.docVIP

第3节三角恒等变换

考试要求1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.

cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sin__αcos__α.

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).

1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).

2.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，

1－sin2α＝(sinα－cosα)2，

sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()

(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()

(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()

答案(1)√(2)√(3)×(4)√

解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).

2.(2021·全国乙卷)cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)＝()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)

答案D

解析因为coseq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(5π,12)))＝sineq\f(π,12)，所以cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).

3.(2021·泰安模拟)eq\f(2sin47°－\r(3)sin17°,cos17°)＝()

A.－eq\r(3) B.－1 C.eq\r(3) D.1

答案D

解析原式＝2×eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)

＝2×eq\f(sin（17°＋30°）－sin17°cos30°,cos17°)＝2sin30°＝1.故选D.

4.(2022·南昌质检)若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝2，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(2π,3)))＝()

A.－2－eq\r(3) B.－eq\f(4,3)

C.2＋eq\r(3) D.eq\f(4,3)

答案B

解析taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(2π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)－π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(2tan