随机变量的数字特征 (2).pptVIP

特别有第61页，共106页，星期日，2025年，2月5日例12设(ξ,η)服从半圆域内的均匀分布，求ξ、η和ξ3η的数学期望。解：第62页，共106页，星期日，2025年，2月5日第63页，共106页，星期日，2025年，2月5日二维随机变量(?,?)，其协方差定义为4.2.1二维随机向量的协方差由定义第64页，共106页，星期日，2025年，2月5日证明第65页，共106页，星期日，2025年，2月5日证明第66页，共106页，星期日，2025年，2月5日定理1对二维随机变量(?,?)，(1)若?,?独立，则cov(?,?)＝0证明第67页，共106页，星期日，2025年，2月5日第68页，共106页，星期日，2025年，2月5日相关系数随机变量?,?的相关系数r??(简记为r)r=0表示?,?不（线性）相关相关系数只是?与?间线性关系程度的一种量度。第69页，共106页，星期日，2025年，2月5日相关系数的性质 对二维随机变量(?,?)，r为?,?的相关系数，则：（1）若?,?独立，则r=0.（2）－1≤r≤1，当且仅当?,?间有严格线性关系时等号成立。定理2第70页，共106页，星期日，2025年，2月5日 设(ξ,η)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，r的二维正态分布，证明ξ、η的相关系数为r。 由ξ、η独立的充要条件是r=0 得：独立性与不相关性是等价的。例1第71页，共106页，星期日，2025年，2月5日第72页，共106页，星期日，2025年，2月5日证明第73页，共106页，星期日，2025年，2月5日若(?,?)是二维随机变量，则（1）E??=E?·E?+cov(?,?)（2）D(?+?)=D?+D?+2cov(?,?)定理3第74页，共106页，星期日，2025年，2月5日例2设二维随机向量（ξ，η）的联合密度为试求数学期望Eξ，Eη，方差Dξ，Dη，协方差cov（ξ，η），相关系数r，并求D（5ξ－3η）。第75页，共106页，星期日，2025年，2月5日ξ表示n次抽样抽出的废品数，服从超几何分布。第29页，共106页，星期日，2025年，2月5日并称为ξ的标准差或均方差。4.1.2方差与标准差 对随机变量ξ，若E(ξ-Eξ)2存在，则称E(ξ-Eξ)2为ξ的方差，记作Dξ或Varξ，即定义第30页，共106页，星期日，2025年，2月5日由数学期望的性质，可导出计算方差的另一个公式：第31页，共106页，星期日，2025年，2月5日1、对于离散型随机变量ξ，若有分布律p(xi)，则2、对于连续型随机变量ξ，若有分布密度φ(x)，则由方差的定义，有第32页，共106页，星期日，2025年，2月5日例1ξ~B(n,p)，求Dξ和。解第33页，共106页，星期日，2025年，2月5日第34页，共106页，星期日，2025年，2月5日于是第35页，共106页，星期日，2025年，2月5日例2设ξ～P(λ)，试求Dξ。解第36页，共106页，星期日，2025年，2月5日第37页，共106页，星期日，2025年，2月5日几何分布的方差证明：例3第38页，共106页，星期日，2025年，2月5日第39页，共106页，星期日，2025年，2月5日例4证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。证设ξ表示事件Ａ在一次试验中发生的次数，即第40页，共106页，星期日，2025年，2月5日第41页，共106页，星期日，2025年，2月5日 设随机变量ξ服从[a，b]上的均匀分布，求Dξ。例5解：第42页，共106页，星期日，2025年，2月5日例6解：设随机变量ξ服从正态分布N(a，σ2)，求Dξ。第43页，共106页，星期日，2025年，2月5日第44页，共106页，星期日，2025年，2月5日 设随机变量ξ服从参数为a的指数分布，求Dξ。例7解：第45页，共106页，星期日，2025年，2月5日分布名称数学期望方差二项分布B(n,p)npnpq泊松分布P(λ)λλ正态分布N(a,σ2)aσ2均匀分布U[a,b]指数分布(参数为a)几何分布g(k;p)第46页，共106页，星期日，2025年，2月5日方差的性质证明：（1）Dc=0(c是常数)（2）证明第47页，共106页，星期日，2025年，2月5日（3）