圆切线判定及切线长定理.pdfVIP

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5圆的切线

当直线与圆有唯一公共点时,称直线与圆相切,此唯一公共点称为切

点.判定直线与圆相切常用到以下结论:

(1)定义;

(2)圆心到直线的距离等于圆的半径;

(3)经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线;

`(4)如图5-1,点A、B、D在⊙O上,点C在⊙O外,若∠BAC=∠ADB,则AC是⊙O的切线(连

结AO延长交⊙O于另一点E,连结BE,即可证明);

E

DCE

P

AB

OBPO

O

F

AC

图5-3

图5-1图5-2

2

(5)如图5-2,点P在圆外,点C在圆上,PAB是⊙O的割线,若PC=PA⋅PB,则PC是⊙O的

切线(连结AC、BC,则△PAC∽△PCB,即可证明).

过圆上一点有且仅有一条直线与圆相切,过圆外一点有且仅有两条直线与圆相切.

如图5-3,若P是圆外一点,PE、PF分别切⊙O于点E、F,若称点P到切点的距离为切线上,则用

勾股定理易证:PE=PF,即切线长相等.

运用切线上定理我们不难得到以下熟知的结论:

(1)如图5-4,△ABC外切⊙O于点D、E、F,设AB=c,BC=a,CA=b,内切圆半径为r,则

b+c−ac+a−ba+b−c

AE=AF=,BD=BF=,CD=CE=;

222

(2)如图5-5,Rt△ABC外切⊙O,内切圆半径为r,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则

a+b−c

r=;

2

(3)如图5-6,凸四边形ABCD外切⊙O,则AB+CD=BC+AD,反之,

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