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中学数学函数专题复习资料大全

函数，作为中学数学的核心内容，贯穿于代数、几何乃至后续的概率统计学习中。它不仅是解决实际问题的有力工具，更是培养逻辑思维、抽象思维和数形结合能力的重要载体。本资料旨在系统梳理中学阶段函数知识体系，点拨重点难点，提供实用的解题思路与方法，助力同学们夯实基础，提升解题能力，从容应对各类考试。

一、函数的基本概念与表示

1.1函数的定义

在一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。记作y=f(x)，其中x的取值范围叫做函数的定义域，y的取值范围叫做函数的值域。

理解要点：

*“每一个确定的x”：强调定义域的作用，x必须在定义域内取值。

*“唯一确定的y”：体现函数的单值性，是判断是否为函数的关键。例如，y2=x就不是一个x到y的函数。

*f(x)是函数的符号，它代表一个对应关系，并非f乘以x。

1.2函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种，各有侧重，在解题中需灵活选用。

*解析法：用数学表达式（解析式）表示两个变量之间的对应关系。

*优点：简洁、精确，便于进行理论分析和运算。

*例如：y=2x+1，y=x2-3x+2。

*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

*优点：直观、具体，可直接读取函数值。

*例如：三角函数表、平方根表，以及一些实际问题中的数据记录。

*图像法：用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系。

*优点：形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势和某些性质。

1.3函数的定义域

函数的定义域是指自变量x的取值范围，它是函数的重要组成部分。如果定义域不明确，函数就失去了意义。

确定定义域的主要依据：

1.分式的分母不能为零。

2.偶次根式的被开方数必须是非负数。

3.零次幂的底数不能为零。

4.对数函数的真数必须是正数，底数必须是大于0且不等于1的数。

5.三角函数中的正切函数y=tanx，其定义域为x≠kπ+π/2(k∈Z)。

6.实际问题中，定义域要根据问题的实际意义来确定。

求解步骤：

1.列出使函数有意义的所有不等式（组）。

2.解不等式（组）。

3.写出函数的定义域（通常用区间或集合表示）。

1.4函数的值域

函数的值域是指函数值y的取值范围，它由函数的定义域和对应法则共同确定。

常见函数的值域求法：

*观察法：对于一些简单的函数，如一次函数、正比例函数、反比例函数等，可通过观察直接得出值域。

*配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数形式的函数，通过配方求出其最值，进而确定值域。

*反函数法：若函数存在反函数，则原函数的值域就是其反函数的定义域（这种方法在理解反函数概念后使用更方便）。

*判别式法：适用于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)(d≠0)的分式函数，通过将其整理为关于x的一元二次方程，利用判别式Δ≥0来求y的取值范围（注意：此法需检验二次项系数为0的情况及等号成立条件）。

*单调性法：利用函数的单调性来确定函数的值域，特别是对于在给定区间上的单调函数，其最值在区间端点处取得。

*换元法：通过引入新的变量t，将原函数转化为关于t的更容易求值域的函数。例如，对于含有根式的函数，可考虑使用三角换元或代数换元。

*几何法：利用函数图像的几何意义，如距离、斜率等，结合图形直观求出值域。

注意：求值域时，一定要先考虑定义域。

二、函数的基本性质

2.1函数的单调性

定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x?、x?，当x?x?时，都有f(x?)f(x?)（或f(x?)f(x?)），那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。区间D称为函数y=f(x)的单调区间。

理解与判定：

*单调性是函数在某个区间上的局部性质，离开了具体区间，谈论单调性是没有意义的。

*定义中的x?、x?是区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替。

*判断方法：

1.定义法：取值、作差（或作商）、变形、定号、下结论。

2.图像法：观察函数图像在区间上是上升的（增函数）还是下降的（减函数）。

3.复合函数单调性：遵循“同增异减”的原则（需掌握复合函数概念）。

4.导数法：对于可导函数，利用导数的正负判断函数的单调性（高中后期学习）。

应用：比较函数值大小、解不等式、求函数的最值等。

2.2函数的奇偶性

定义：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的