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平方差公式教学设计与课堂示范

平方差公式作为代数运算中的重要工具，其学习与应用对于学生后续多项式运算、因式分解乃至更高级的代数学习都具有深远影响。本节课的设计旨在引导学生从已有的多项式乘法知识出发，通过观察、归纳、验证、应用等一系列数学活动，自主构建平方差公式的理解，并能熟练运用公式解决实际问题。教学过程注重体现“以学生为主体，教师为主导”的理念，强调知识的形成过程与数学思想方法的渗透。

一、教学设计

（一）教学目标

1.知识与技能：学生能够准确表述平方差公式的内容；理解公式的几何意义；能够运用平方差公式熟练进行简单的计算。

2.过程与方法：通过从特殊到一般的探究过程，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；在公式的推导和应用过程中，体会数形结合和转化的数学思想。

3.情感态度与价值观：通过自主探究与合作交流，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神；感受数学的简洁美与和谐美。

（二）教学重难点

*重点：平方差公式的推导过程及结构特征；平方差公式的熟练应用。

*难点：理解平方差公式的几何意义；准确识别公式中的“a”与“b”，灵活运用公式解决稍复杂的问题。

（三）教学准备

教师准备：多媒体课件（PPT）、几何图形模型（或可动态演示面积变化的软件）、板书设计预案。

学生准备：预习多项式乘法法则，准备练习本、直尺、铅笔。

（四）教学过程设计

1.温故知新，情境导入（约5分钟）

*活动1：快速计算

*提问：同学们，我们已经学习了多项式乘以多项式，请大家快速计算下列各题：

1.(x+2)(x-2)

2.(m+3)(m-3)

3.(2a+1)(2a-1)

*学生独立完成，教师巡视，选取学生答案展示。

*活动2：观察发现

*引导学生观察上述三个算式及其结果，提问：

*这些算式在结构上有什么共同特点？（都是两个数的和乘以这两个数的差）

*它们的结果有什么共同特点？（结果都是这两个数的平方差）

*引出课题：今天我们就来深入研究这种特殊形式的多项式乘法所呈现的规律——平方差公式。（板书课题）

2.新知探究，合作建构（约15分钟）

*活动1：代数推导，得出公式

*提问：如果我们用字母a和b分别表示这两个数，那么上述算式的一般形式是什么？结果又是什么？

*学生尝试用字母表示：(a+b)(a-b)

*引导学生利用多项式乘法法则进行推导：

(a+b)(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-ab+ab-b2=a2-b2

*师生共同总结得出平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

*强调公式语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

*活动2：几何直观，深化理解（数形结合）

*展示一个边长为a的大正方形，在其一角剪去一个边长为b的小正方形（ba）。

*提问1：这个图形（阴影部分）的面积是多少？（引导学生得出：a2-b2）

*提问2：我们能否将这个阴影部分拼成一个规则的图形？（引导学生思考如何剪拼）

*动画演示或实物操作：将阴影部分沿一条虚线剪开，拼成一个长方形。

*提问3：这个拼成的长方形的长和宽分别是多少？面积又是多少？（引导学生观察得出：长为(a+b)，宽为(a-b)，面积为(a+b)(a-b)）

*结论：由于阴影部分面积不变，所以(a+b)(a-b)=a2-b2。

*设计意图：通过几何图形的面积关系，直观验证平方差公式，帮助学生从代数和几何两个角度理解公式的本质，渗透数形结合思想。

*活动3：剖析公式，把握特征

*引导学生仔细分析公式的结构特征：

*左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b）。

*右边：是相同项的平方减去相反项的平方。

*强调：公式中的a和b可以是具体的数字，也可以是单项式、多项式等代数式。（为后续灵活应用公式埋下伏笔）

*提问：如何记忆这个公式？可以结合文字叙述和结构特征来记。

3.例题示范，巩固应用（约15分钟）

*例1：直接应用公式计算

*(3x+2)(3x-2)

*分析：引导学生识别公式中的a和b。这里相同项是3x，相反项是2和-2。

*解：原式=(3x)2-(2)2=9x2-4（强调书写格式，规范步骤）

*(b+5a)(b-5a)

*分析：相同项是b，相反项是5a和-5a。

*解：原式=b2-(5