复变函数与积分变换复变函数.pptVIP

复变函数与积分变换复变函数第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日

第五章留数1.孤立奇点2.留数3.留数在定积分计算上的应用4.对数留数与辐角原理5.第五章小结与习题第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日

第四节对数留数与辐角原理对数留数1辐角原理2小结与思考4路西定理3第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日

一、对数留数1.定义具有下列形式的积分:说明:1)对数留数即函数f(z)的对数的导数在C内孤立奇点处的留数的代数和;2)函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日

2.定理一内零点的总个数,P为f(z)在C内极点的总个数.其中,N为f(z)在C且C取正向.注意:m级的零点或极点算作m个零点或极点.第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日

证第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日

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[证毕]由以上所述和留数定理，得第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日

二、辐角原理.不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原点若干圈.1.对数留数的几何意义第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日

单值函数等于零第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日

结论:(k总为整数)对数留数的几何意义是绕原点的回转次数k第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日

由定理一及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理第12页，共25页，星期日，2025年，2月5日

2．定理二(辐角原理)如果f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.第13页，共25页，星期日，2025年，2月5日

三、路西定理定理三(路西定理)说明:利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较.第14页，共25页，星期日，2025年，2月5日

证在C内部解析第15页，共25页，星期日，2025年，2月5日

第16页，共25页，星期日，2025年，2月5日

[证毕]第17页，共25页，星期日，2025年，2月5日

例1试证方程证第18页，共25页，星期日，2025年，2月5日

在圆内的零点数为n在圆内的零点数也为n第19页，共25页，星期日，2025年，2月5日

例2对数留数.解所以这些零点是二级零点,从而是f(z)的二级极点.第20页，共25页，星期日，2025年，2月5日

所以由对数留数公式得第21页，共25页，星期日，2025年，2月5日

四、小结与思考通过本课的学习,应熟悉对数留数及其与函数的零点及极点的关系;了解辐角原理与路西定理.第22页，共25页，星期日，2025年，2月5日

思考题第23页，共25页，星期日，2025年，2月5日

思考题答案只有一个根.第24页，共25页，星期日，2025年，2月5日

ThankYou!再见！第25页，共25页，星期日，2025年，2月5日