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全效学习让天下学子共享优质教育！第五单元四边形微专题十一以特殊四边形为背景的计算与证明中考学练测数学
类型之一类型之二
类型之一以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】已知:如图，在?ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证:BE＝DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB≌△CFD(AAS)，∴BE＝DF.
【思想方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题.(2)平行四边形的判定有四种方法:两组对边分别平行;两组对边分别相等;一组对边平行且相等;对角线互相平分.
【中考变形】1.[2024·浙江模拟]如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下:甲方案乙方案?分别取AO，CO的中点E，F.?作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
请回答下列问题:(1)以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是________(填“甲”“乙”或“甲和乙”)，请给出证明(若填“甲和乙”则只需选择其中一种证明).?(2)若EF＝2AE，S△AED＝6，求?ABCD的面积.甲和乙
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(2)由(1)得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，∴OE＝OF，∴EF＝2OE.又∵EF＝2AE，∴2OE＝2AE，∴OE＝AE＝CF＝OF，∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×6＝24，∴S?ABCD＝2×24＝48，∴?ABCD的面积是48.
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【中考预测】如图，在?ABCD中，E为边DC的中点，连结AE，AE的延长线和BC的延长线相交于点F.(1)求证:BC＝CF.(2)连结AC，BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求?ABCD的面积.
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又∵S△GEC＝2，∴S△GBC＝2S△GEC＝4，S△GBA＝4S△GEC＝8，∴S△ABC＝S△GBC＋S△GBA＝12，∴S?ABCD＝2S△ABC＝24.
类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数.
解:如答图，连结AC.∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别是BC，CD的中点，∴AB＝AC＝AD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝BC＝AC＝CD＝AD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°.
【思想方法】要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，可采用类比法，比较它们的区别和联系.对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手;判定菱形一般可以从四边形入手，也可以从平行四边形入手;正方形既有矩形的性质又有菱形的性质.
【中考变形】1.[2024·福建]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证:BE＝DF.
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2.观察如图所示的三个与菱形有关的图形.(1)如图1，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E，F分别是边BC，CD上的中点，连结AE，EF，AF.若AC＝3，则CE＋CF的长为________.?(2)如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，点F在边CD上，连结EF.若BC＝3，求CE＋CF的长.3
(3)在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，点F在CD的延长线上，连结EF.当BC＝3，EF⊥BC时，在图3中将图形补充完整并直接写出△AEF的周长.
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(2)如答图1，连结AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝180°－∠B＝120°，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∴∠ACF＝60°＝∠B.图1
∵∠EAF＝60°，∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF，∴CE＋CF＝BC＝3.
(3)补图如答图2.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠ADC.又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝∠BAD＝120°，∠ADC＝60°，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝AD，∴∠CAD＝60°，∠ACE＝120°，∠ADF＝120°.图2
又∵
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