微专题十二　矩形、正方形中的折叠问题.pptxVIP

全效学习让天下学子共享优质教育！第五单元四边形微专题十二矩形、正方形中的折叠问题中考学练测数学

【经典母题】【中考变形】【中考预测】

【经典母题】已知:如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.(1)求证:四边形EFGH是矩形.(2)若EH＝3cm，EF＝4cm，求边AD的长.

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【思想方法】与折叠有关的计算常用性质:(1)折叠问题的本质是轴对称，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形(如图1).①线段相等:CD＝CD，BC＝BC;②角相等:∠1＝∠2，∠3＝∠4;③全等关系:△BCD≌△BCD.图1

(2)折痕可看做垂直平分线(对应两点之间的连线被折痕垂直平分).(3)折痕可看做角平分线(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).(4)要重视在折叠问题中灵活运用双平模型(平行线＋角平分线得等腰三角形)得到相等的线段，如图1中BE＝ED，图2中CF＝CE;要善于通过添加辅助线，构造A字型相似模型，得到有用的线段比，如图1中tanα＝CD∶BC，图2中tanβ＝AB∶BC.图2

【中考变形】1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB∶BC＝3∶2.沿EF折叠矩形，使点C落在AD边上的中点C处，若设∠FEC＝α，则tanα的值为________.?3

【解析】如答图，连结CC交FE于点G.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB，∠D＝90°，∴AD∶CD＝2∶3.又∵C是AD的中点，∴CD∶CD＝3.由折叠的性质，易知EF⊥CC，CE＝CE，∴∠CGE＝90°＝∠D，∠ECG＝∠ECG，∴△CGE∽△CDC，∴∠FEC＝∠CCD，∴tan∠FEC＝tan∠CCD＝CD∶CD＝3.

2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处.若CE＝3，AB＝8，则BF＝________.?6

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3.如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，作△OBC关于直线BO的对称图形△OBD，点C的对应点是D，则点D的纵坐标为________.??

【解析】方法一:如答图1，过点D作DF⊥OA于点F，设BD与OA相交于点E.∵点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，∴OA＝8，OC＝4.∵四边形OABC是矩形，∴CB∥OA，AB＝OC＝4，∠OCB＝∠BAO＝90°，CB＝OA＝8，∴∠CBO＝∠BOA.图1

由轴对称，得∠DBO＝∠CBO，OD＝OC＝4，BD＝BC＝OA＝8，∠ODB＝∠OCB＝90°，∴∠DBO＝∠BOA，∴BE＝OE，∴DE＝AE.设AE＝x，则BE＝OE＝8－x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋AE2＝BE2，

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?图2

4.如图，将长为4cm、宽为2cm的矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点A与点C重合，则折痕EF的长为?______cm.??

【解析】如答图，连结AC交EF于点O.方法一:∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO.由折叠，得CE＝AE，EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠COE＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF.

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5.[2024·连云港]如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连结BF.再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG.若G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为________.??

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6.[2023·随州节选]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连结DP，则DP的最大值为__________.??

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7.[2023·扬州]如图，已知正方形纸片ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形纸片沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为________.??

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8.[2024·南充改编]如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连结CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，求DF的长.

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【中考预测】如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1.将矩形纸片ABCD沿CP折叠，点B落在点B处，BP，BC分别与AD相交于点E，F，求EF的长.

解:如答图，过点P作PG⊥CD于点G，交CB于点H，则四边形APGD和四边形PBCG均为矩形，∴AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1，∴CG＝BP＝AB－AP