177等边三角形姜海霞.docVIP

17．7等边三角形

我们知道，三条边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的性质．那么等边三角形还有没有其他的性质呢？

问题1：

等边三角形的角具有怎样的性质？

等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都等于60°．

问题2：

除了等边三角形的定义，还有什么方法可以说明一个三角形是等边三角形？

等边三角形的每个内角都等于60°，那么每个内角都相等的三角形是等边三角形吗？

我们可以利用“等角对等边”说明这样的三角形每条边都相等，由此我们有了等边三角形的判定方法1：三个内角都相等的三角形是等边三角形．

等边三角形是特殊的等腰三角形，那么满足怎样条件的等腰三角形是等边三角形呢？

议一议

他们说得对吗，为什么？

等边三角形的判定方法2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

【例1】如图17．7．1，在等边△ABC中，D是AC中点，E是BC延长线上一点，且DB＝DE．说明CD＝CE的理由．

A

A

B

C

E

D

图17.7.1

【解】因为等边△ABC，D是AC中点（已知），

所以∠ABC＝∠ACB＝60°（等边三角形的每个内角都等于60°），

∠DBC＝∠ABC（等腰三角形三线合一）．

所以∠DBC＝30°（等量代换）．

因为DB＝DE（已知），

所以∠E＝∠DBC＝30°（等边对等角）．

因为∠ACB＝∠CDE＋∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

所以∠CDE＝30°（等式性质）．

所以∠CDE＝∠E（等量代换）．

因此CD＝CE（等角对等边）．

【例2】如图17．7．2，已知A、C、B三点共线，分别以AC、BC为边，在直线AB同侧作等边△CAN和等边△BCM．说明AM＝BN的理由．

A

A

B

C

N

M

图17.7.2

【解】因为等边△CAN和等边△BCM（已知），

所以AC＝CN，BC＝CM，

∠CAN＝∠BCM＝60°（等边三角形的性质）．

所以∠MCA＝∠BCN（等式性质）．

在△CAM和△CNB中，

所以△CAM≌△CNB（SAS）

因此AM＝NB（全等三角形对应边相等）．

练习17．7

1．如图，△ABC是等边三角形，点E、F、G分别在AB、BC、CA上，且AE＝BF＝CG．说明△EFG是等边三角形的理由．

A

A

E

B

F

C

G

（第1题）

2．（1）将例2中的等边△ACN绕点C旋转一定角度，得到下图，试问：AM＝BN还成立吗？

（2）将（1）中等边△ACN再绕点C旋转一定角度，得到下图，上述AM＝BN还成立吗？请你根据上述两个问题揭示其中的规律．

（3）在旋转过程中，直线AM和直线BN所夹的锐角的大小随着旋转而改变吗？说说你的理由．

A

A

C

B

M

N

（第2题—1）

A

C

B

N

M

（第2题—2）

练习17．7（教材习题答案）

1．提示：△AEG≌△BEF≌△CGF，得EG＝EF＝GF

2．提示：（1）（2）△ACM始终与△NCB全等，因此AM＝CN（3）所夹锐角始终等于60°

17．7等边三角形

练习17．7

1．如图，已知△ABC、△ADE是等边三角形，点E恰在CB的延长线上，说明∠ABD＝∠AED的理由．

A

A

E

B

C

D

第1题

2．如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC于M，说明M是BE的中点的理由．

A

A

B

C

E

D

M

第2题

3．如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE＝CD，连结DE，交BC于点P．（1）说明DP＝PE的理由；（2）若D为AC边中点，求BP的长．

A

A

B

E

C

P

D

第3题

4．如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，其连续四边长依次为1，9，9，7（单位：cm），你能设法求出这个六边形的周长吗？说说你的想法．

A

A

B

C

D

E

F

1

9

9

7

第4题

练习17．7（答案部分）

1．说明△ABD≌△ACE，则有∠ABD＝∠C＝∠AED

2．∠E＝∠ACB＝∠ABC＝∠CBD，则BD＝ED，又DM⊥BC，则M为BE的中点

3．（1）过点D作DF∥AB，说明△DFP≌△EBP，则有DP＝EP（2）BP＝

4．双向延长AB、CD、EF，分别交于点M、N、P，则△MNP为等边三角形．可以得到六边形周长为44cm