高考数学一轮复习 专题34 【重点专训】圆锥曲线大题专项训练（教师版）.docxVIP

专题34圆锥曲线大题专项训练

题型一、椭圆中的定点、定值

1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

【答案】(1)；(2)；

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

（2），所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：

，过点.

②若过点的直线斜率存在，设.

联立得，

可得，，

且

联立可得

可求得此时，

将，代入整理得，

将代入，得

显然成立，

综上，可得直线HN过定点

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；

充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，

又，所以椭圆方程为；

（2）由（1）得，曲线为，

当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；

当直线的斜率存在时，设，

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线即，

由直线与曲线相切可得，解得，

联立可得，所以，

所以,

所以必要性成立；

充分性：设直线即，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立可得，

所以，

所以

，

化简得，所以，

所以或，所以直线或，

所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；

所以M，N，F三点共线的充要条件是．

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【答案】（1）；（2）证明详见解析.

【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.

（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.

【详解】（1）依据题意作出如下图象：

????

由椭圆方程可得：，，

，

，

椭圆方程为：

（2）[方法一]：设而求点法

证明：设，

则直线的方程为：，即：

联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：

，解得：或

将代入直线可得：

所以点的坐标为.

同理可得：点的坐标为

当时，

直线的方程为：，

整理可得：

整理得：

所以直线过定点．

当时，直线：，直线过点．

故直线CD过定点．

[方法二]【最优解】：数形结合

设，则直线的方程为，即．

同理，可求直线的方程为．

则经过直线和直线的方程可写为．

可化为．④

易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．

故，可得或．

其中表示直线，则表示直线．

令，得，即直线恒过点．

【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.

第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.

4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆的离心率是，点在上．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

【答案】(1)；(2)证明见详解；

【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；

（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，

联立方程，消去y得：，

则，解得，

可得，

因为，则直线，令，解得，即,

同理可得，

则

，

所以线段的中点是定