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幂的运算（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1.掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；

能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.

【要点梳理】

【高清课堂幂的运算知识要点】

要点一、同底数幂的乘法性质

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

要点二、幂的乘方法则

要点三、积的乘方法则

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质

【高清课堂幂的运算例1】

1、计算：

【答案与解析】

【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．

（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：

类型二、幂的乘方法则

【高清课堂幂的运算例2】

2、计算：

【答案与解析】

【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．

3、（2015春?南长区期中）已知2x=8y+2，9y=3x﹣9，求x+2y的值．

【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解．

【答案与解析】

解：根据2x=23（y+2），32y=3x﹣9，

列方程得：，

解得：，

则x+2y=11．

【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则．

举一反三：

【答案】－5；

类型三、积的乘方法则

4、计算：

【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.

【答案与解析】

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．

举一反三：

【变式1】下列等式正确的个数是()．

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A；

【变式2】（2015春?泗阳县校级月考）计算：

（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2

（2）（2）20?（）21．

【答案】

（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2

=a4?9a6＋16a10

=9a10＋16a10

=25a10；

（2）（2）20?（）21．

=（×）20?

=1×

=．

5、（2016秋?济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．

【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．

【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m

=4（x2m）3﹣9x2m

=4×23﹣9×2

=14．

【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．