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湛江市麻章区2023秋季高三数学月考试卷含答案详解

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

1.选择题（每题5分，共30分）

（1）设函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)在区间[1,3]上单调递增，则实数a的取值范围是______。

（2）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a4=8，则数列{an}的通项公式为______。

（3）在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为______。

（4）若等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则数列{an}的前n项和S_n=______。

（5）已知函数f(x)=x^3-3x+2，若f(x)在区间[-1,1]上有极值点，则f(x)的导数f(x)在区间[-1,1]上的符号变化情况是______。

2.填空题（每题5分，共40分）

（1）若等差数列{an}的公差d=2，且a1+a4=10，则数列{an}的第五项a5=______。

（2）在直角坐标系中，若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相切，则k^2+b^2=______。

（3）若数列{an}是等比数列，且a1=3，a3=9，则数列{an}的公比q=______。

（4）函数f(x)=e^x-x的零点个数是______。

（5）已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2在区间[0,a]上的最大值为0，则a的取值范围是______。

3.解答题（每题10分，共50分）

（1）已知函数f(x)=(x-1)^2+2，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

（2）已知数列{an}是等差数列，且a1=1，a3=7，求该数列的前10项和S_10。

（3）在直角坐标系中，已知直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相交于点A和B，若AB的长度为2√2，求直线AB的方程。

（4）已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求f(x)的导数f(x)。

（5）已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)在区间[-1,2]上的单调区间。

试卷答案

1.选择题

（1）[解析]函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上单调递增，即其导数f(x)=2x-4在此区间上大于0。解不等式2x-40得x2，所以a的取值范围是a2。

（2）[解析]数列{an}是等差数列，a4=a1+3d，代入a1=2，a4=8得2+3d=8，解得d=2。因此通项公式为an=2+(n-1)*2。

（3）[解析]点P(2,3)关于直线y=x的对称点为P，因为对称点在直线y=x上，所以P的坐标为(3,2)。

（4）[解析]等比数列{an}的通项公式为an=a1*q^(n-1)，代入a1=1，q=2得an=2^(n-1)。前n项和S_n=a1*(q^n-1)/(q-1)=(2^n-1)。

（5）[解析]函数f(x)=x^3-3x+2的导数f(x)=3x^2-3。求导数为0的点得x^2=1，即x=±1。在区间[-1,1]上，f(x)的符号变化为负到正。

2.填空题

（1）[解析]由等差数列的性质得a5=a1+4d=2+4*2=10。

（2）[解析]直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相切，圆心到直线的距离等于半径，即|b|/√(k^2+1)=2，解得k^2+b^2=4。

（3）[解析]数列{an}是等比数列，a3=a1*q^2，代入a1=3，a3=9得q^2=3，解得q=√3。

（4）[解析]函数f(x)=e^x-x的导数f(x)=e^x-1。令f(x)=0得e^x=1，即x=0。f(x)=e^x0，所以x=0是极小值点，故零点个数为1。

（5）[解析]函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1的导数f(x)=3x^2-6x+4。令f(x)=0得x^2-2x+4/3=0，解得x=1±√(3/3)。在区间[0,1]上，f(x)0，在区间[1,2]上，f(x)0，故单调区间为[0,1]单调递增，[1,2]单调递减。

3.解答题

（1）[解析]函数f(x)=(x-1)^2+2在区间[0,3]上单调递增，因此最大值在x