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九年级圆的切线练习题详解

在九年级的数学学习中,圆的切线是一个核心知识点,它不仅涉及到圆的基本性质,还常常与三角形、四边形等平面图形的知识相结合,形成综合性较强的题目。掌握圆的切线的性质与判定,对于解决几何问题至关重要。本文将通过几道典型练习题的详细解析,帮助同学们巩固所学知识,提升解题能力。

一、切线的基本概念与定理回顾

在深入练习题之前,我们先简要回顾一下圆的切线的关键知识点,这是解决所有切线问题的基础:

1.切线的定义:直线和圆只有一个公共点时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。

2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。(这是最重要的性质,常用来构造直角三角形)

3.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(常用于证明一条直线是圆的切线)

4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

这些定理是我们解决切线相关问题的“利器”,务必熟练掌握并能灵活运用。

二、典型练习题详解

练习题一:利用切线性质求角度

题目:如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点D。若∠A=30°,求∠D的度数。

思路分析:

要求∠D的度数,我们需要在图形中找到与∠D相关的已知角,并利用几何关系进行转化。已知∠A=30°,AB是直径,CD是切线。我们应首先连接OC,因为切线垂直于过切点的半径,所以OC⊥CD,这就得到了一个直角∠OCD。

解答过程:

1.连接OC。

*因为CD是⊙O的切线,C为切点,根据切线的性质定理,可得OC⊥CD,即∠OCD=90°。

2.在⊙O中,OA=OC(均为半径),所以△OAC是等腰三角形。

*因此,∠A=∠OCA=30°。

3.∠COD是△OAC的一个外角,根据三角形外角的性质,外角等于不相邻的两个内角之和。

*所以,∠COD=∠A+∠OCA=30°+30°=60°。

4.在Rt△OCD中,∠OCD=90°,∠COD=60°,根据直角三角形两锐角互余。

*∠D=180°-∠OCD-∠COD=180°-90°-60°=30°。

小结:本题主要考查了切线的性质(垂直关系)、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质。连接圆心与切点(即半径)是解决切线问题中最常用的辅助线作法之一。

练习题二:利用切线长定理解决问题

题目:已知:如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,连接PO交AB于点C。若PA=6cm,∠APB=60°,求AB的长。

思路分析:

题目中明确提到PA、PB是⊙O的两条切线,这自然让我们想到切线长定理:PA=PB,且PO平分∠APB。同时,PO垂直平分AB(这是切线长定理的一个重要推论,由等腰三角形“三线合一”可证)。已知PA=6cm,∠APB=60°,我们可以先在Rt△PAC中求出AC的长度,进而得到AB的长。

解答过程:

1.因为PA、PB是⊙O的两条切线,所以根据切线长定理:

*PA=PB,且PO平分∠APB。

*所以,∠APC=∠APB/2=60°/2=30°。

*同时,PO垂直平分AB,即AB⊥PO,且AC=CB=AB/2。

2.在Rt△APC中,∠ACP=90°,∠APC=30°,PA=6cm。

*根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得:

*AC=PA*sin(∠APC)(或利用余弦函数求PC,再用勾股定理求AC,此处用三角函数更直接)

*AC=6*sin30°=6*1/2=3cm。

*(或:cos∠APC=AC/PA=AC=PA*cos∠APC=6*cos30°?不,此处∠APC的邻边是PC,对边是AC。sin∠APC=对边/斜边=AC/PA=AC=PA*sin∠APC=6*sin30°=3cm,正确。)

3.因为AC=AB/2,所以AB=2*AC=2*3=6cm。

小结:本题主要考查了切线长定理及其推论。对于涉及两条切线的问题,切线长定理是首要考虑的知识点,它能提供线段相等和角平分线的重要信息。

练习题三:切线的判定

题目:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E。求证:DE是⊙O的切线。

思路分析:

要证明DE是⊙O的切线,根据切线的判定定理,有两种思路:一是如果知道直线与圆有公共点,则需证明直线与过该公共点的半径垂直;二是如果不知道直线与圆是否有公共点,则需证明圆心到直线的距离等于半径。本题中,DE与⊙O的公共点是D(因为D在⊙O

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