匈牙利法研究总结.docVIP

匈牙利法研究总结

匈牙利法，也称为匈牙利算法，是一种用于解决指派问题的经典方法。指派问题是指在给定一组资源和一组任务的情况下，如何将资源分配给任务，使得总成本或总时间最小化。这种问题在运筹学、计算机科学和经济学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍匈牙利法的基本原理、算法步骤、应用实例以及其优缺点。

1.基本原理

匈牙利法的基本原理是通过构造一个成本矩阵，并通过一系列的变换将矩阵转化为一个可以直观看出最优指派的形式。成本矩阵的每一行代表一个资源，每一列代表一个任务，矩阵中的每个元素表示将某个资源分配给某个任务的成本。目标是最小化总成本。

2.算法步骤

2.1构造成本矩阵

首先，需要构造一个成本矩阵。假设有n个资源和n个任务，成本矩阵为一个n×n的矩阵，记为C。矩阵中的元素C[i][j]表示将资源i分配给任务j的成本。

2.2行变换

对成本矩阵进行行变换，使得每一行的第一个非零元素为1。具体步骤如下：

1.找到每一行的最小元素。

2.将每一行的元素减去该行的最小元素。

2.3列变换

对变换后的矩阵进行列变换，使得每一列的第一个非零元素为1。具体步骤如下：

1.找到每一列的最小元素。

2.将每一列的元素减去该列的最小元素。

2.4判断最优解

经过行变换和列变换后，矩阵中可能存在多个1，需要通过以下步骤判断是否存在最优解：

1.从矩阵中找到独立的1，即不与其他1在同行或同列的1。

2.如果找到n个独立的1，则这些1对应的资源与任务的分配即为最优解。

3.如果没有找到n个独立的1，则需要继续进行步骤2.5。

2.5增加独立1

如果没有找到n个独立的1，则需要通过增加独立1来继续求解。具体步骤如下：

1.找到矩阵中所有0元素的位置。

2.从这些0元素中找到一条路径，使得路径上的元素交替为0和未标记的1。

3.在路径上标记1的位置，并从未标记的1位置划去该列。

4.重复上述步骤，直到找到n个独立的1。

3.应用实例

假设有3个资源和3个任务，成本矩阵如下：

|任务1|任务2|任务3|

|-------|-------|-------|

|4|8|7|

|2|3|9|

|5|6|4|

3.1行变换

找到每一行的最小元素：

-行1：最小元素为4

-行2：最小元素为2

-行3：最小元素为4

将每一行的元素减去该行的最小元素：

|任务1|任务2|任务3|

|-------|-------|-------|

|0|4|3|

|0|1|7|

|1|2|0|

3.2列变换

找到每一列的最小元素：

-列1：最小元素为0

-列2：最小元素为1

-列3：最小元素为0

将每一列的元素减去该列的最小元素：

|任务1|任务2|任务3|

|-------|-------|-------|

|0|3|3|

|0|0|7|

|1|1|0|

3.3判断最优解

从矩阵中找到独立的1：

-行2列2的1

需要增加独立的1：

1.找到矩阵中所有0元素的位置。

2.从这些0元素中找到一条路径，使得路径上的元素交替为0和未标记的1。

假设找到一条路径：行1列1-行3列3-行2列2，标记行2列2的1，并从未标记的1位置划去该列。

继续寻找，直到找到3个独立的1。

4.优缺点

4.1优点

1.高效性：匈牙利法在指派问题中具有较高的效率，尤其适用于中小规模的指派问题。

2.直观性：算法步骤清晰，易于理解和实现。

3.广泛应用：在资源分配、任务调度、运输优化等领域有着广泛的应用。

4.2缺点

1.适用范围：匈牙利法主要适用于规模较小的指派问题，对于大规模问题可能需要更高效的算法。

2.复杂性：对于复杂的多约束指派问题，匈牙利法可能需要额外的处理和优化。

5.结论

匈牙利法是一种解决指派问题的有效方法，通过构造成本矩阵并进行行变换和列变换，可以找到资源与任务的最优分配方案。尽管匈牙利法在处理大规模问题时存在一定的局限性，但在中小规模问题中仍然是一种高效且实用的方法。通过进一步的研究和优化，匈牙利法可以在更多领域得到应用和推广。