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2025年新疆维吾尔自治区高数一（专升本）练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=e^x2x在x=0处的函数值为2，则f(0)等于()

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由题意得f(0)=2，又因为f(x)=e^x2x，所以f(x)=e^x2。将x=0代入f(x)，得f(0)=e^02=12=1。但题目中已知f(0)=2，所以选项B正确。

2.设函数f(x)=sinxcosx，求f(π/4)的值。

A.0

B.1

C.√2

D.√2

答案：C

解析：f(x)=cosx+sinx，将x=π/4代入f(x)，得f(π/4)=cos(π/4)+sin(π/4)=√2/2+√2/2=√2。所以选项C正确。

3.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的零点。

A.x=1

B.x=0

C.x=1

D.x=2

答案：B

解析：f(x)=3x^26x+2。令f(x)=0，得3x^26x+2=0。解得x=1±√2/3。选项B中的x=0不是f(x)的零点，故选项B错误。

4.设函数f(x)=ln(x^2+1)，求f(x)。

A.2x/(x^2+1)

B.2x/(x^21)

C.x/(x^2+1)

D.x/(x^21)

答案：A

解析：f(x)=(2x)/(x^2+1)。所以选项A正确。

5.设函数f(x)=arcsin(x)，求f(x)。

A.1/√(1x^2)

B.1/√(1+x^2)

C.1/√(1x^2)

D.1/√(1+x^2)

答案：A

解析：f(x)=1/√(1x^2)。所以选项A正确。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数y=x^33x^2+2x+1在x=1处的切线斜率为______。

答案：0

2.设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的零点______。

答案：x=1

3.设函数f(x)=e^x2x，求f(x)的极值点______。

答案：x=0

4.设函数f(x)=sinxcosx，求f(x)的周期______。

答案：2π

5.设函数f(x)=ln(x^2+1)，求f(x)的奇偶性______。

答案：偶函数

三、解答题（共50分）

1.（15分）设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调区间。

解答：f(x)=3x^26x+2。令f(x)=0，得x=1±√2/3。将这两个点分别代入f(x)的左右两侧，得到：

当x1√2/3时，f(x)0；

当1√2/3x1+√2/3时，f(x)0；

当x1+√2/3时，f(x)0。

因此，f(x)的单调增区间为(∞，1√2/3)和(1+√2/3，+∞)，单调减区间为(1√2/3，1+√2/3)。

2.（15分）设函数f(x)=e^x2x，求f(x)的极值。

解答：f(x)=e^x2。令f(x)=0，得x=ln2。将x=ln2代入f(x)，得f(ln2)=e^ln22ln2=22ln2。因为f(x)在x=ln2左侧为负，右侧为正，所以f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为22ln2。

3.（20分）设函数f(x)=sinxcosx，求f(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值。

解答：f(x)=cosx+sinx。令f(x)=0，得x=π/4。将x=π/4代入f(x)，得f(π/4)=sin(π/4)cos(π/4)=√2/2√2/2=0。

在区间[0，π]上，f(x)在x=0和x=π处的函数值分别为f(0)=1和f(π)=1。因此，f(x)在区间[0，π]上的最大值为1，最小值为1。