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2025年新疆维吾尔自治区（专升本）高数二练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在区间（∞，+∞）内的极值点是（）

A.x=0

B.x=1

C.x=1

D.x=2

答案：C

解析：求导得f(x)=3x^23。令f(x)=0，解得x=±1。当x=1时，f(x)=60，所以x=1为极小值点。

2.设函数f(x)=e^xx，则f(x)在x=0处的二阶导数f(0)等于（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：D

解析：求导得f(x)=e^x1。再次求导得f(x)=e^x。所以f(0)=e^0=1。

3.设函数f(x)=x^2ln(x)，则f(x)的n阶导数f^(n)(x)在x=1处的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.n!

答案：D

解析：根据莱布尼茨公式，f^(n)(x)=[(x^2)ln(x)]^(n1)+x^2[ln(x)]^(n)。当x=1时，f^(n)(1)=2(n1)!+0=n!。

4.级数之和为（）

A.π/6

B.π/4

C.π/3

D.π/2

答案：A

解析：该级数是正弦函数的级数展开，即sin(x)=xx^3/3!+x^5/5!...。当x=π/3时，sin(π/3)=π/6。

5.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的特征值是（）

A.1,2

B.3,4

C.5,6

D.1,1

答案：D

解析：特征方程为|AλI|=0，即(1λ)(4λ)6=0。解得λ=1,1。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^33x^2+2x+1在x=1处的切线方程为______。

答案：y=x+2

解析：f(x)=3x^26x+2，f(1)=1。切线方程为yf(1)=f(1)(x1)，即y1=x+2。

2.设函数f(x)=x^2e^x，则f(x)的一阶麦克劳林公式展开式为______。

答案：f(x)=x^2+2x+1+o(x)

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x。f(0)=0，f(0)=2，f(0)=4。所以一阶麦克劳林公式展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x^2/2+o(x)。

3.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[1,0],[0,1]]，则矩阵A与矩阵B的乘积AB=______。

答案：AB=[[1,2],[3,4]]

解析：矩阵乘法规则，AB=[[11+20,10+21],[31+40,30+41]]=[[1,2],[3,4]]。

4.设函数f(x)=x^33x^2+2，则f(x)在区间（∞，+∞）内的单调递增区间为______。

答案：(∞,1)∪(2,+∞)

解析：f(x)=3x^26x。令f(x)0，解得x2或x1。

5.级数之和为______。

答案：π/4

解析：该级数是正切函数的级数展开，即tan(x)=x+x^3/3+2x^5/15+...。当x=π/4时，tan(π/4)=π/4。

三、解答题（共50分）

1.（10分）求函数f(x)=x^33x+1在区间（∞，+∞）内的极值点及极值。

解：求导得f(x)=3x^23。令f(x)=0，解得x=±1。当x=1时，f(x)=60，所以x=1为极小值点，极小值为f(1)=3。当x=1时，f(x)=60，所以x=1为极大值点，极大值为f(1)=1。

2.（15分）计算定积分I=∫_0^π(xsin(x))dx。

解：I=∫_0^πxdx∫_0^πsin(x)dx=π^2/2(cos(x))|_0^π=π^2/2+2。

3.（15分）求级数之和S=∑_(n=1)^∞(1/n^2)。

解：根据级数求和公式，S=π^2/6。

4.（10分）求矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值和特征向量。

解：特征方程为|AλI|=0，即(1λ)(4λ)6=0。解得λ=1,1。当λ=