2025年南开大学省身班选拔考试数学试题（解析版）.pdfVIP

2025年南开大学数学省身班选拔考试

f(x)=asin2x+bsinx+c,

1.已知函数,求出使下面三个条件成立的所有a,b,c.

sinx=2

①当时，f(x)=381

②f(x)的最大值为444.

③f(x)

的最小值为364.

【答案】a=4,b=-40,c=400

【解析】

可.

【详解】令t=sinx,g(t)=at2+bt+c(+≤1).

第一类：若a=0,由①得,即b+2c=762(*).

(2)=381,

,

则有或此时与(*)构成的方程组无解.

+c=364-+c=344

第二类：若a≠0,由(1)得,即a+2b+4c=1524(**),

8(2)=381,

g(t)在[-1,1]上的最大值为444,最小值为364.

情况1:.这时g(t)在[-1,1]上单调.

21=1.

若b0,则此时与(**)构成的方程组无解.

a-b+c=364

若b0,则此时与(**)联立解得a=4,b=-40,c=400.

a4+6+c=364

情况2:.这时

a0|221.

此时与(**)构成的方程组无解.

情况3:.这时

a0且

2a1

此时与(**)构成的方程组无解.

综上所述，只有a=4,b=-40,c=400一组解.

2.在数列{an}中，a?=2,

C=2-1anEM).

(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

{“}

(2)设,若数列{bn}的前n项和是Tn,求证：Tn2.

D=4n-a

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

a,=2

【解析】

【分析】

(1)利用等比数列的通项公式，进行求解即可；

(2)由,进而利用,得到

b,s一

最后利用等比数列求和公式进行求证即可

T.≤1+2+++…2—-,

【详解】证明：(1)由题设得,又a?=2,

n+1=2-

所以数列是首项为2,公比为的等比数列，

}N一

所以=2(台)-2”。a,=2n×()=2”.=

(2)由(1)知

因为对任意n∈N°,2”-1≥2”-1恒成立，

所以，b.s2

所以T,≤1+2++…-=2(1--)2

故T?2成立

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，难点在于利用不等式的放缩法得出

,属于中档题

b,≤

径为2的圆T?与x轴相切于F?,并与Y轴交于A,B两点，△ABE为等边三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知圆T?P为圆T?上的一点，过点P的切线交椭圆C于M,N两点，请问

2:x2+y2=15,

|PM|·|PN|是否为定值，并给出理由.

【答案】(1)

9+6=1

(2)|PM|·|PN|为定值，该定值是

B5

【解析】

【分析】(1)根据题意可得EF?⊥x轴，

Ec.二),

组，解方程组即可；

,当直线斜率存在时，设出直线方程，联

(2)首先考虑切线斜率不存在时可得到PM|PN|=|oP2=5