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高二数学函数专题讲解及练习题

函数作为高中数学的核心内容，贯穿于整个高中数学的学习过程，也是后续高等数学学习的重要基石。高二阶段对函数的学习，在高一初步认识的基础上，更加侧重于性质的深化、综合应用以及新函数类型的引入。本专题将带你系统梳理高二函数的重点知识，并通过例题与练习题帮助你巩固提升，力求在理解的基础上灵活运用。

一、函数的核心概念再回顾与深化理解

在进入复杂性质之前，我们有必要再次审视函数的核心定义，这是解决一切函数问题的出发点。

1.1函数的定义与三要素

定义回顾：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

三要素深化理解：

*定义域(Domain)：自变量x的取值范围。这是函数的“灵魂”，研究函数必先考虑定义域。在实际问题中，定义域还需考虑实际意义；在抽象函数中，定义域的求解往往需要根据对应法则的限制条件（如分式分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零等）进行求解。

*对应法则(RuleofCorrespondence)：即f，它是函数的“核心”，决定了输入x如何转化为输出y。理解对应法则f的含义，对于解决函数求值、复合函数等问题至关重要。

*值域(Range)：函数值y的集合，由定义域和对应法则共同确定。求值域的方法多样，需要根据函数的类型灵活选择。

例题1：已知函数f(x+1)的定义域为[0,2]，求函数f(2x-1)的定义域。

分析：本题考查对函数定义域概念的深刻理解。定义域指的是自变量x的取值范围。对于f(x+1)，其自变量是x，定义域为[0,2]，意味着x∈[0,2]，则x+1∈[1,3]，即f的作用对象（括号内的整体）的范围是[1,3]。对于f(2x-1)，其作用对象是2x-1，因此2x-1必须满足∈[1,3]，从而可求出x的范围，即f(2x-1)的定义域。

解答：

∵f(x+1)的定义域为[0,2]，∴0≤x≤2，∴1≤x+1≤3。

令t=x+1，则f(t)的定义域为t∈[1,3]。

对于函数f(2x-1)，有1≤2x-1≤3，

解得：1≤x≤2。

故函数f(2x-1)的定义域为[1,2]。

1.2函数的表示方法

函数的常用表示方法有解析法、列表法和图像法。解析法是最精确和便于运算的方法，也是高二阶段学习的重点。我们需要熟练掌握函数解析式的求法，如待定系数法、换元法、配凑法、方程组法等。

例题2：已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

分析：已知函数类型为一次函数，故可设f(x)=ax+b(a≠0)，再根据题目所给等式，利用待定系数法求出a、b的值。

解答：

设f(x)=ax+b(a≠0)，则：

f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b

f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b

代入3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17得：

3[ax+a+b]-2[ax-a+b]=2x+17

化简得：(3ax+3a+3b)-(2ax-2a+2b)=ax+(5a+b)=2x+17

∴有a=2且5a+b=17

解得a=2，b=17-5×2=7

故f(x)=2x+7。

二、函数的基本性质及其综合应用

函数的性质是研究函数的关键，主要包括单调性、奇偶性、周期性和最值（值域）。这些性质不仅是函数自身特征的体现，也是解决函数问题的重要工具。

2.1函数的单调性

定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x?，x?，当x?x?时，都有f(x?)f(x?)（或f(x?)f(x?)），那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。区间D称为函数y=f(x)的单调区间。

理解要点：

*单调性是函数在某个区间上的局部性质，谈单调性必须指明区间。

*定义法证明单调性的步骤：取值（在区间内任取x?x?）、作差（f(x?)-f(x?)）、变形（因式分解、配方等）、定号（判断差的正负）、下结论。

*复合函数的单调性：遵循“同增异减”原则（内外函数单调性相同则复合函数为增，不同则为减）。

*常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性需熟练掌握。

例题3：证明函数f(x)=x+