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六年级数学比例应用难题训练

同学们，比例是小学数学学习中的一个重要转折点，它不仅是对前期所学除法、分数知识的综合运用与深化，更是后续学习更复杂代数知识的基础。比例的应用题型灵活多变，常常让大家感到困惑。今天，我们就一起来攻克比例应用中的一些难题，通过深入理解和实战演练，让你对比例的掌握更加扎实，运用更加自如。

一、比例的核心概念回顾

在开始挑战难题之前，我们先快速回顾一下比例的核心概念，这是解决所有问题的基石。

1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，a:b=c:d，意味着a与b的比等于c与d的比。

2.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。即如果a:b=c:d，那么ad=bc。这是解比例最根本的依据。

3.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

4.正比例与反比例：

*正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。可以表示为y/x=k(一定)。

*反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。可以表示为xy=k(一定)。

关键点：判断正反比例关系，关键在于抓住“比值一定”还是“乘积一定”。这是解决比例应用题的首要步骤。

二、典型难题解析与训练

（一）利用不变量解决比例问题

难题特征：题目中存在多个量在变化，但某个关键的量始终保持不变。我们需要找到这个“不变量”，并以它为桥梁，将不同的比例关系联系起来，从而解决问题。

例题1：甲、乙两筐苹果的质量比是5:3，如果从甲筐取出若干个苹果放入乙筐后，两筐苹果的质量比变为3:4。已知甲筐原有苹果若干千克，求甲筐取出了多少千克苹果放入乙筐？（提示：两筐苹果的总质量不变）

思路点拨：

1.题目中，甲、乙两筐苹果的质量发生了变化，但是它们的总质量是不变的。这就是我们要抓住的“不变量”。

2.原来甲、乙质量比是5:3，那么总份数是5+3=8份，甲占总质量的5/8。

3.后来甲、乙质量比是3:4，那么总份数是3+4=7份，甲占总质量的3/7。

4.甲筐苹果占总质量的份数减少了，减少的部分就是取出的苹果占总质量的几分之几。

5.若能求出总质量，就能求出取出的苹果质量。但题目中未给出具体质量，这说明题目可能隐含了总质量是8和7的公倍数这一条件（因为份数必须是整数），我们可以设总质量为8和7的最小公倍数56份（或56k千克，k为一个常数），这样计算起来更方便。

详解过程：

设两筐苹果总质量为[8,7]=56份(这里取最小公倍数，方便计算)。

原来甲筐质量：56×(5/8)=35份。

后来甲筐质量：56×(3/7)=24份。

取出的苹果质量：35份-24份=11份。

题目中若给出甲筐原有苹果的具体千克数，例如“甲筐原有苹果35千克”（这里35千克对应35份），则1份就是1千克，取出的11份就是11千克。

（注：实际题目中会给出具体数量，同学们需根据具体数值进行计算，此处核心在于理解“不变量”和比例转换的思想。）

变式练习：一个书架，上层书与下层书的本数比是7:5。如果从上层拿12本书到下层，这时上层书与下层书的本数比是4:3。求原来上、下层各有多少本书？

（二）按比例分配的复杂应用

难题特征：并非直接给出总量和比例，需要通过转化求出总份数或各部分量之间的关系，或者涉及多个量的连续分配。

例题2：甲、乙、丙三人共同投资办厂，甲投资的钱数是乙、丙两人投资总和的1/3，乙投资的钱数是甲、丙两人投资总和的1/4。已知丙投资了66万元，甲、乙各投资了多少万元？

思路点拨：

1.题目中给出的是“甲投资是乙、丙总和的1/3”，“乙投资是甲、丙总和的1/4”，这不是直接的甲:乙:丙的连比。

2.我们需要将这些关系转化为甲、乙、丙三人投资钱数的连比。

3.对于“甲是乙、丙总和的1/3”，可以理解为甲:(乙+丙)=1:3，那么甲占三人总投资的1/(1+3)=1/4。

4.对于“乙是甲、丙总和的1/4”，可以理解为乙:(甲+丙)=1:4，那么乙占三人总投资的1/(1+4)=1/5。

5.知道了甲和乙各占总投资的几分之几，就可以求出丙占总投资的几分之几，而丙的具体投资额是已知的，从而可以求出总投资额，进而求出甲和乙的投资额。

详解过程：

由甲投资是乙、丙总和的1/3，可知甲占总投资的1/(1+3)=1/4。

由乙投资是甲、丙总和的1/4，可知乙占总投资的1/(1+4)=1