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高等代数第一章

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§1.1数域

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一、数域

定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括

0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除

数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．

常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；

（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）

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说明：

1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P

中，则说数集P对这个运算是封闭的．

2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数

集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）

是封闭的，则称集P为一个数域．

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例1．证明：数集Q(2)ab2|a,bQ

是一个数域．

证：0002,1102,0,1Q(2)

又对x,yQ(2),设xab2,ycd2,

a,b,c,dQ,则有

xy(ac)(bd)2Q(2),

xy(ac2bd)(adbc)2Q(2)

设ab20,于是ab2也不为0．

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（否则，若ab20,则ab2,

a

于是有2Q,

b

矛盾）

或a0,b0ab20.

cd2(cd2)(ab2)



ab2(ab2)(ab2)

ac2bdadbc

2Q.

a22b2a22b2

数域

Q(2)为数域．Gauss

类似可证Q(i)abia,bQ,i1是数域.

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例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任

意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一

一个数域．

证：由题设任取a,bP,有

b

0aaP,1P(b0),abP,

b

a

P(b0),aba(0b)P,

b

1

b0时,ab1P,b0时,ab0P.

b

所以，P是一个数域．

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二、数域的性质定理

任意数域P都包括有理数域Q．

即，有理数域为最小数域．

证明：设P为任意一个数域．由定义可知，

0P，1P.

于是有



mZ,m111P

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进而有