利用函数性质判定方程解的存在性-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册.pptxVIP

5.1.1利用函数性质判定方程

解的存在性;

学习目标

1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，

体现数学抽象能力(重点);

我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，它们

有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法而实际上，绝大部分方程没有求解公式.本节我们就利用方程与函数的关系判断方程解的存在性，并给出方程近似解的求法.;

由于函数f(x)的图象是连续的曲线，因此点B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部

分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4)内必有一点x?,使f(x?)=0;

同理，在区间(-4,0)内也必有一点x?,使f(x?)=0.因此，方程x2-x-6=0有两

个不相等的实数根.;

零点的概念

使得f(x?)=0的数x?称为方程f(x)=0的解，也称为函数的零点.

f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.

注意：实际问题中，大部分函数的图象都是连续曲线;

零点存在定理的概念

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线，并且

在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)0,则在开区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.;

1.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数解，也是函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.

2.如果函数在零点两侧对应的函数值异号，那么称这个零点为变号零点；如果函数在零点两侧对应的函数值同号，称该零点为不变号零点.如2就是函数f(x)=(x-2)2的不变号零点.;

不一定

如：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),f(0)f(4)=(-6)×60,但是该函数在区间(0,4)内

有三个零点x=1,x=2和x=3.即方程f(x)=0在区间(0,4)内有三个解.;

不一定

如：f(x)=x2,在区间[-2,2]上，f(-2)=f(2)=4,所以f(-2)f(2)0,但方程

x2=0在区间(-2,2)内有零点x=0.;

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上图象连续，则

f(a)f·(b)0方程f(x)=0在区间(a,b)内有解

即f(a)·f(b)0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分条件而非必要条件;

f(O)=30-02=10,

又因为函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可

知方程f(x)=0在区间(-1,0)内有解，即在区间[-1,0]内有解，

故方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有解.;

设函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,显然有f(2)=f(5)=-10.

画出函数f(x)=(x-2)(x-5)-1的图象，如图，观察得，

f(-1)=(-1)×(-4)-1=30,

f(6=4×1-1=30

在区间[1,2],[5,6]内分别应用零点存在定理，可知在区间(1,2),(5,5)内，;

例3:如图，对于四边形ABCD,是否存在可将它分两个面积相等部分的直线?

若存在，有多少条满足条件的直线?请说明理由.

建立如下图所示的平面直角坐标系，作垂直于x轴的直

线l?,将四边形ABCD分为两部分，记直线l?左侧(阴影部

分)的面积为S(x)(a≤x≤b),四边形ABCD的面积为S.则直

线l?右侧剩余部分面积为S-S(x).

设f(x)=S(x)-(S-S(x))(a≤x≤b),函数f(x)在[a,b]上的图象是

一条连续的曲线.

因为f(a)=S(a)-(S-S(a))=-S0,f(b)=S(b)-(S-S(b))=S0;

由函数的零点存在定理可知，一定存在x?∈(a,b),使f(O)=0,即S(x?)-(S-

S(x?))=0

此时,即存在一条可将四边形ABCD分成两个面积相等部分的直线

若以顶点C为中点将四边形ABCD逆时针旋转，每旋转一个角度θ.利用类似

上面的方法，在同一个平面直角坐标系中，可得到垂直于x轴的直线l?将四

边形ABCD分为面积相等的两部分.由于有无穷多个不同的θ值，因此存在

无数条可将四边形ABCD分成两个面积相等的直线.;

新课学习

练一练：

已知函数f(x)=Inx+2x-6.

(1)证明：f(x)